Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B de ce exercice sont indépendantes
Le tableau suivant donne le nombre de cartes bancaires, en France, exprimé en millions, entre 2002 et 2009.

(source : INSEE / groupement des cartes bancaires)
Année20022003200420052006200720082009
Rang de l'année xi01234567
Nombre de cartes bancaires : yi (en millions)45,447,649,151,253,655,757,558,4

partie a

  1. Représenter le nuage de points Mi(xi;yi), avec 0i7, associé à cette série statistique dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :

    • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour représenter une année ;
    • sur l'axe des ordonnées, on placera 45 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 million.
    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Un ajustement affine du nuage de points paraît justifié.

    1. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est y=1,94x+45,53 ( coefficients arrondis au centième).


    2. Tracer la droite (D) dans le repère précédent.

      voir l'illustration précédente

  3. En admettant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, estimer le nombre de cartes bancaires en France en 2011. Le résultat sera exprimé en millions et arrondi au dixième.

    Le rang de l'année 2011 est 9 et 1,94×9+45,53=62,99

    Selon cet ajustement, le nombre de cartes bancaires en France en 2011 serait de 63 millions.


partie b

  1. Justifier que le pourcentage d'augmentation du nombre de cartes bancaires en France entre les années 2008 et 2009 est d'environ 1,6 %.

    Le taux du pourcentage d'augmentation du nombre de cartes bancaires en France entre les années 2008 et 2009 est 58,4-57,557,5×1001,6

    Entre les années 2008 et 2009 le nombre de cartes bancaires en France a augmenté d'environ 1,6 %.


  2. On admet que ce pourcentage annuel d'augmentation est valable pour les années à venir, à partir de 2009. Sous cette hypothèse, estimer le nombre de cartes bancaires en France en 2011. Le résultat sera exprimé en millions et arrondi au dixième.

    Avec un pourcentage annuel d'augmentation de 1,6 % à partir de 2009 le nombre de cartes bancaires en France en 2011 sera de 58,4×1,016260,3

    Avec un pourcentage annuel d'augmentation de 1,6 % à partir de 2009 le nombre de cartes bancaires en France en 2011 sera d'environ 60,3 millions.


  3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Toujours sous l'hypothèse d'une augmentation annuelle de 1,6 %, déterminer à partir de quelle année l'estimation du nombre de cartes bancaires en France sera supérieure à 63 millions.

    Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 1,6 % est 1,016, le nombre de cartes bancaires n années après 2009 est 58,4×1,016n

    Par conséquent, le nombre d'années nécessaire pour que le nombre de cartes bancaires en France soit supérieur à 63 millions est le plus petit entier n tel que 58,4×1,016n631,016n6358,4ln(1,016n)ln(6358,4)nln1,016ln(6358,4)nln63-ln58,4ln1,016

    Or ln63-ln58,4ln1,0164,8 donc le plus petit entier est nln63-ln58,4ln1,016 est 5

    Avec une augmentation annuelle de 1,6 % le nombre de cartes bancaires dépassera 63 millions à partir de 2014.



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