Baccalauréat septembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne la fréquentation des lignes aériennes, en millions de passagers, entre la France métropolitaine et les pays étrangers depuis 1980 (source INSEE).

Année 1980198519901995200020052008
Rang de l'année xi051015202528
Nombre de passagers yi (en millions) 21,926,436,944,7678297,9

On cherche à étudier l'évolution du nombre de passagers y entre la France métropolitaine et les pays étrangers en fonction du rang x de l'année.

  1. Déterminer le pourcentage d'évolution du nombre de passagers entre 2005 et 2008 (le résultat sera arrondi à 0,1 %).

    Le taux du pourcentage d'augmentation du nombre de passagers entre 2005 et 2008 est 97,9-8282×10019,4

    Entre les années 2005 et 2008 le nombre de passagers entre la France métropolitaine et les pays étrangers a augmenté d'environ 19,4 %.


  2. Représenter le nuage de points Mi(xi;yi) associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :
    0,5 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses ;
    1 cm pour 10 millions de passagers sur l'axe des ordonnées.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas adapté.

    rappel :

    f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous réels x1 et x2 distincts :f(x2)-f(x1)x2-x1=a

    Or graphiquement, l'accroissement moyen du nombre de passagers entre deux périodes consécutives mi=yi-yi-1xi-xi-1 n'est pas presque constant mais, croissant.

    Le taux d'accroissement du nombre de passagers entre deux périodes consécutives augmente. Donc un ajustement affine n'est pas adapté.


    L'allure du nuage suggère un ajustement exponentiel. Pour cela, on pose z=lny.

  4. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième.

    Rang de l'année xi051015202528
    zi3,0863,2733,6083,8004,2054,4074,584
  5. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

    Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est z=0,055x+3,044 ( coefficients arrondis au millième).


  6. Montrer que l'on a la relation y=AeBx avec A20,989 et B0,055.

    Pour tout réel y>0, z=lnyy=ez d'où y=e0,055x+3,044y=e3,044×e0,055xSoity=20,989e0,055x

    Ainsi, y=20,989e0,055x


    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Ajustement exponentiel du nuage

  7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Les compagnies aériennes prévoient que le pourcentage d'augmentation entre 2008 et 2011 sera de 30%. Cela est-il cohérent avec l'ajustement exponentiel déterminé dans la question 6 ?

    Le rang de l'année 2011 est 31 par conséquent, une estimation du nombre de millions de passagers en 2011 est 20,989×e0,055×31115,47

    Une estimation du pourcentage d'augmentation du nombre de passagers entre 2008 et 2011 est donc 115,47-97,297,2×10017,9

    Cet ajustement, n'est pas cohérent avec les prévisions des compagnies aériennes.



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