Le tableau ci-dessous donne la fréquentation des lignes aériennes, en millions de passagers, entre la France métropolitaine et les pays étrangers depuis 1980 (source INSEE).
Année | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2008 |
Rang de l'année | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 28 |
Nombre de passagers (en millions) | 21,9 | 26,4 | 36,9 | 44,7 | 67 | 82 | 97,9 |
On cherche à étudier l'évolution du nombre de passagers y entre la France métropolitaine et les pays étrangers en fonction du rang x de l'année.
Déterminer le pourcentage d'évolution du nombre de passagers entre 2005 et 2008 (le résultat sera arrondi à 0,1 %).
Le taux du pourcentage d'augmentation du nombre de passagers entre 2005 et 2008 est
Entre les années 2005 et 2008 le nombre de passagers entre la France métropolitaine et les pays étrangers a augmenté d'environ 19,4 %.
Représenter le nuage de points associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :
0,5 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses ;
1 cm pour 10 millions de passagers sur l'axe des ordonnées.
Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas adapté.
rappel :
f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous réels et distincts :
Or graphiquement, l'accroissement moyen du nombre de passagers entre deux périodes consécutives n'est pas presque constant mais, croissant.
Le taux d'accroissement du nombre de passagers entre deux périodes consécutives augmente. Donc un ajustement affine n'est pas adapté.
L'allure du nuage suggère un ajustement exponentiel. Pour cela, on pose .
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de au millième.
Rang de l'année | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 28 |
3,086 | 3,273 | 3,608 | 3,800 | 4,205 | 4,407 | 4,584 |
À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est ( coefficients arrondis au millième).
Montrer que l'on a la relation avec et .
Pour tout réel , d'où
Ainsi,
Ajustement exponentiel du nuage
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Les compagnies aériennes prévoient que le pourcentage d'augmentation entre 2008 et 2011 sera de 30%. Cela est-il cohérent avec l'ajustement exponentiel déterminé dans la question 6 ?
Le rang de l'année 2011 est 31 par conséquent, une estimation du nombre de millions de passagers en 2011 est
Une estimation du pourcentage d'augmentation du nombre de passagers entre 2008 et 2011 est donc
Cet ajustement, n'est pas cohérent avec les prévisions des compagnies aériennes.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.