sujet : Asie

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère une fonction f :

• définie, continue et dérivable sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ ;
• strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ ;
• strictement décroissante sur les intervalles $\left[-1;0\right]$ et $\left[2;+\infty \right[$.

On note $f\prime$ la fonction dérivée de f et F la primitive de f sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ qui s'annule en 0.
La courbe C , tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Elle passe par les points $A\left(-1;6\right)$, $B\left(0;-2\right)$, $D\left(1;2\right)$ et $E\left(2;6\right)$.
Elle admet au point D une tangente passant par le point $G\left(0;-4\right)$.
Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.

1. Déterminer $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$. Justifier les réponses.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.

3. Montrer que sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution que l'on notera $x_1$.

   théorème de la valeur intermédiaire

   Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

4. On admet que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet, sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, deux autres solutions que l'on notera $x_2$ et $x_3$, avec $x_2<x_3$. Dresser le tableau de signes de la fonction f .

5. Parmi les trois courbes suivantes, $C_1$, $C_2$, $C_3$, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente F , et celle qui représente $f\prime$.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f

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