Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit « alpha » fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
Le coût marginal de fabrication du produit « alpha » par l'entreprise est modélisé par la fonction définie sur l'intervalle par , q étant la quantité exprimée en tonnes et son coût exprimé en milliers d'euros.
La fonction coût total est modélisée par la fonction dénie sur l'intervalle par .
Vérifier que cette fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Dire qu'une fonction F est une primitive de de la fonction sur l'intervalle signifie que pour tout réel q de l'intervalle , .
La fonction coût moyen, notée , est la fonction définie sur l'intervalle par .
Vérifier que .
Déterminer la fonction dérivée de la fonction .
Pour quelle production mensuelle (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
Quel est ce coût ? Pour cette production , quelle est la valeur du coût marginal ?
Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle. Chaque tonne du produit « alpha » est vendu 4 000 euros.
On désigne par la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit « alpha » et par le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans l'annexe 2 à rendre avec la copie.
Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié.
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