Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Asie

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous indique, pour une année donnée, l'évolution de l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) des années 2000 à 2008 :

Année 200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année : xi012345678
Indice :yi100114,14131,17147,06166,56189,63219,38251,01268,14

partie a : Ajustement exponentiel

  1. Pour i entier variant de 0 à 8, construire le nuage de points Mixiyi associé à la série statistique dans le plan rapporté à un repère orthogonal fourni en annexe 1 à rendre avec la copie.

  2. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+ par fx=101e0,13x. On suppose que la fonction f modélise un ajustement exponentiel de la série statistique xiyi. Sa courbe représentative est tracée dans l'annexe 1.

    1. Déterminer les variations de la fonction f.

    2. Résoudre dans l'intervalle 0+ l'inéquation fx350. Interpréter le résultat obtenu.

partie b : Ajustement affine

  1. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points Mixiyi (i entier variant de 0 à 8) puis le placer dans le graphique de l'annexe 1.

  2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite D d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10 − 2.
    Tracer cette droite dans le graphique de l'annexe 1.

  3. On suppose que le modèle affine reste valable jusqu'en 2014.
    Déterminer à partir de quelle année, l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350. Justifier votre réponse.

partie c : Comparaison des modèles

On sait que pour l'année 2009, l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) est de 284,24. Des deux ajustements précédents, lequel donne l'estimation la plus proche de la réalité ? Justifier votre réponse.

annexe 1

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère une fonction f :

On note f la fonction dérivée de f et F la primitive de f sur l'intervalle -1+ qui s'annule en 0.
La courbe C , tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Elle passe par les points A-16, B0-2, D12 et E26.
Elle admet au point D une tangente passant par le point G0-4.
Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer f1 et f2. Justifier les réponses.

  2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.

  3. Montrer que sur l'intervalle -10, l'équation fx=0 admet une unique solution que l'on notera x1.

  4. On admet que l'équation fx=0 admet, sur l'intervalle -1+, deux autres solutions que l'on notera x2 et x3, avec x2<x3. Dresser le tableau de signes de la fonction f .

  5. Parmi les trois courbes suivantes, C1, C2, C3, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente F , et celle qui représente f.

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe C1Courbe C2Courbe C3

exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties I et II sont indépendantes

Le graphe Γ suivant représente le plan d'un zoo.
Le sommet A représente son accès. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les différents secteurs animaliers de ce zoo.
Une arête représente l'allée reliant deux secteurs et est pondérée par la distance de parcours, exprimée en mètres, entre ces deux secteurs.
AB = 90, AC = 290, AD = 175, AE = 150, BC = 185, BD = 155, BE = 180, CD = 120, CG =260, DE = 110, DF = 105, EF = 135, FG = 230.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie i :

Pour mieux visualiser sur le plan les différents secteurs du zoo, on veut les colorier de telle sorte que deux secteurs adjacents ne soient pas de la même couleur.

  1. Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires à la réalisation de ce plan ? Justifier la réponse,

  2. Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe Γ . Justifier la réponse.

  3. Proposer alors une telle coloration.

partie ii :

  1. Pour nettoyer les allées, les services techniques du zoo utilisent une balayeuse automobile.
    Est-il possible que cette balayeuse n'emprunte chaque allée qu'une fois et une seule ? Si oui, proposer un tel chemin, sinon justifier votre réponse.

  2. Les services de sécurité basés au point A doivent intervenir dans le secteur G. Déterminer, à l'aide d'un algorithme, l'itinéraire le plus court.


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise financière est divisée en deux secteurs ; 65 % de son personnel travaille dans le secteur A et 35 % dans le secteur B.
Cette entreprise s'intéresse au niveau de stress de son personnel.
Une enquête, menée sous la forme d'un questionnaire informatisé, est réalisée au sein de l'entreprise. Le questionnaire est proposé de manière anonyme aux salariés des deux secteurs.
Cette enquête révèle que pour le secteur A, 20 % du personnel se dit stressé, tandis que, dans le secteur B, ce taux est de 30 %.

On choisit au hasard le questionnaire d'un employé de l'entreprise, chacun ayant la même probabilité d'être choisi.
On note :

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

  2. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé.

  3. Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

    L'entreprise examine l'opportunité d'installer une salle de relaxation. Si le taux d'employés stressés est strictement supérieur à 25 %, cette salle sera installée.
    L'entreprise implantera-t-elle la salle de relaxation ? Justifier la réponse.

  4. Sachant que le questionnaire choisi est celui d'un employé stressé, quelle est la probabilité qu'il travaille dans le secteur A ? (le résultat sera arrondi à 10− 2)


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit « alpha » fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
Le coût marginal de fabrication du produit « alpha » par l'entreprise est modélisé par la fonction Cm définie sur l'intervalle 120 par Cmq=4+0,2q2-2qe-0,2q, q étant la quantité exprimée en tonnes et Cmq son coût exprimé en milliers d'euros.

  1. La fonction coût total est modélisée par la fonction CT dénie sur l'intervalle 120 par CTq=4q-q2e-0,2q.
    Vérifier que cette fonction CT est une primitive de la fonction Cm sur l'intervalle 120.

  2. La fonction coût moyen, notée CM , est la fonction définie sur l'intervalle 120 par CM=CTq .

    1. Vérifier que CMq=4-qe-0,2q.

    2. Déterminer la fonction dérivée CM de la fonction CM.

    3. Pour quelle production mensuelle q0 (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
      Quel est ce coût ? Pour cette production q0, quelle est la valeur du coût marginal ?

  3. Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

    On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle. Chaque tonne du produit « alpha » est vendu 4 000 euros.
    On désigne par Rq la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit « alpha » et par Bq le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
    Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans l'annexe 2 à rendre avec la copie.
    Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié.

annexe 2

Courbes représentatives des fonctions R et CT : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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