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% en-tête
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\lfoot{Asie 2011}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous indique, pour une année donnée, l'évolution de l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) des années 2000 à 2009.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 						&2000 	& 2001 	&2002 	&2003 	& 2004 	& 2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline  
Indice : $y_{i}$			&100 	&114,14 &131,17 &147,06 &166,56 &189,63 &219,38 &251,01 &268,14\\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\scriptsize{\textsf{Source : Insee comptes nationaux - base 2000}}}\\
\end{tabularx}
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a :}}} ajustement exponentiel}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour $i$ entier variant de 0 à 8, construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans le plan rapporté à un repère orthogonal fourni en annexe 1 \emph{à rendre avec la copie}. 
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 101 \e^{0,13x}$. On suppose que la fonction $f$ modélise un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$. Sa courbe représentative est tracée dans l'annexe 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les variations de la fonction $f$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0 ; +\infty[$ l'inéquation $f(x) \geqslant 350$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b :}}} ajustement affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ ($i$ entier variant de 0 à 8) puis le placer dans le graphique de l'annexe 1. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $\mathcal{D}$ de ce nuage par la méthode des moindres carrés. \emph{Les coefficients seront arrondis à} $10^{-2}$.
 
Tracer cette droite dans le graphique de l'annexe 1. 
\item On suppose que le modèle affine reste valable jusqu'en 2014.
 
Déterminer à partir de quelle année, l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350. Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie c :}}}  Comparaison des modèles}

\medskip
 
On sait que pour l'année 2009, l'indice de consommation des produits des Techonologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) est de 284,24. 

Des deux ajustements précédents, lequel donne l'estimation la plus proche de la réalité ? Justifier votre réponse.  

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(30,38)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(15.5,37){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe 1 : à rendre avec la copie}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(30,35)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=100,Dy=50]{->}(0,0)(15.2,354)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{11.5}{101*EXP(0.13*x)-100}
\end{pspicture}
\end{center}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ :

\begin{itemize}
\item  définie, continue et dérivable sur l'intervalle $[-1 ; +\infty[$ ; 
\item  strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 2]$ ; 
\item strictement décroissante sur les intervalles $[-1 ; 0]$ et $[2 ; + \infty[$. 
\end{itemize}

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ la primitive de $f$ sur l'intervalle $[-1 ; +\infty[$ qui s'annule en $0$. 

La courbe $\mathcal{C}$, tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

Elle passe par les points $A(-1 ; 6)$, $B(0 ; -2)$, $D(1 ; 2)$ et $E(2 ; 6)$.

Elle admet au point $D$ une tangente passant par le point $G(0 ; -4)$. 

Elle admet au point $B$ et au point $E$ une tangente horizontale. 


\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-10)(16,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(16,16)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-5)(4,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\uput[d](0.5,0){\red{$\vec {i}$}}\uput[l](0,0.5){\red{$\vec{j}$}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1}{3.15}{x dup mul 6 mul x 3 exp 2 mul sub 2 sub}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-0.2}{2}{6 x mul 4 sub}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(1.5,6)(2.5,6)\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(-0.5,-2)(0.5,-2)
\uput[r](0,-4){\prune{$G$}}\uput[r](1,2){\bleu{$D$}}\uput[u](2,6){\bleu{$E$}}\uput[u](-1,6){\bleu{$A$}} \uput[ur](0,-2){\bleu{$B$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$. Justifier les réponses. 
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $D$. 
\item Montrer que sur l'intervalle $[-1 ; 0]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $x_{1}$. 
\item On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle $[-1 ; +\infty[$, deux autres solutions que l'on notera $x_{2}$ et $x_{3}$, avec $x_{2} < x_{3}$. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$. 
\item Parmi les trois courbes suivantes, $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente $F$, et celle qui représente $f'$.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-5)(7,7)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-5)(3.5,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[d](0.5,0){\red{$\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\red{$\vec{j}$}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-.35}{2.35}{2 x sub x  mul 6 mul}
\rput(1.25,-6){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(8,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(8,8)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(4,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\uput[d](0.5,0){\red{$\vec{i}$}} \uput[l](0,0.5){\red{$\vec{j}$}} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1}{3.87}{x 3 exp 2 mul  x 4 exp 2 div sub x 2 mul sub}
\rput(1.25,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture} 
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-7)(7,5)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-7)(3.5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[d](0.5,0){\red{$\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\red{$\vec{j}$}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-.35}{2.35}{x 2 sub x  mul 6 mul}
\rput(1.25,-8){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Les parties I  et II sont indépendantes}

\medskip
 
Le graphe $\Gamma$ suivant représente le plan d'un zoo.
 
Le sommet A représente son accès. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les différents secteurs animaliers de ce zoo.
 
Une arête représente l'allée reliant deux secteurs et est pondérée par la distance de parcours, exprimée en mètres, entre ces deux secteurs.
 

AB = 90, AC = 290, AD = 175, AE = 150, BC = 185, BD = 155, BE = 180, CD = 120, CG = 260, DE = 110, DF = 105, EF = 135, FG = 230.
 
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,4.5){A}{\textsf{\small{\bleu {A}}}} \cnodeput(2,6){B}{\textsf{\small{\bleu {B}}}} \cnodeput(6.5,5.5){C}{\textsf{\small{\bleu {C}}}} \cnodeput(4.5,2.5){D}{\textsf{\small{\bleu {D}}}} \cnodeput(1.5,0){E}{\textsf{\small{\bleu {E}}}} \cnodeput(4,0.25){F}{\textsf{\small{\bleu {F}}}} 
\cnodeput(7.5,1.5){G}{\textsf{\small{\bleu {G}}}} 
\ncline{A}{B}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 90}
\ncline{C}{D}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 120}
\ncline{A}{C}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 290}
\ncline{A}{D}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 175}
\ncline{A}{E}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 150}
\ncline{B}{C}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 185}
\ncline{B}{D}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 155}
\ncline{B}{E}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 180}
\ncline{C}{D}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 120}
\ncline{C}{G}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 260}
\ncline{D}{E}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 110}
\ncline{D}{F}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 105}
\ncline{E}{F}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 135}
\ncline{F}{G}\ncput*{\bleu \bf \sf \small 230}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie i :}}}

\medskip

Pour mieux visualiser sur le plan les différents secteurs du zoo, on veut les colorier de telle sorte que deux secteurs adjacents ne soient pas de la même couleur. 

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre minimun de couleurs nécessaires à la réalisation de ce plan ? Justifier la réponse, 
\item Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe $\Gamma$. 

Justifier la réponse. 
\item Proposer alors une telle coloration.
\end{enumerate}

\medskip


\textsf {\textbf{\textsc{partie ii :}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour nettoyer les allées, les services techniques du zoo utilisent une balayeuse automobile.
 
Est-il possible que cette balayeuse n'emprunte chaque allée qu'une fois et une seule ? Si oui, proposer un tel chemin, sinon justifier votre réponse. 

\item Les services de sécurité basés au point A doivent intervenir dans le secteur G. Déterminer, à l'aide d'un algorithme, l'itinéraire le plus court. 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une entreprise financière est divisée en deux secteurs ; 65\,\% de son personnel travaille dans le secteur A et 35\,\% dans le secteur B.
 
Cette entreprise s'intéresse au niveau de stress de son personnel.
 
Une enquête, menée sous la forme d'un questionnaire informatisé, est réalisée au sein de l'entreprise. Le questionnaire est proposé de manière anonyme aux salariés des deux secteurs. Cette enquête révèle que pour le secteur A, 20\,\% du personnel se dit stressé, tandis que, dans le secteur B, ce taux est de 30\,\%. 

On choisit au hasard le questionnaire d'un employé de l'entreprise, chacun ayant la même probabilité d'être choisi.
 
On note : 

\begin{itemize}
\item  $A$ : \og le questionnaire est celui d'un employé du secteur A \fg. 
\item $B$ : \og le questionnaire est celui d'un employé du secteur B \fg. 
\item $S$ : \og le questionnaire est celui d'un employé stressé \fg.
\end{itemize}

 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé. 
\item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
L'entreprise examine l'opportunité d'installer une salle de relaxation. Si le taux d'employés stressés est strictement supérieur à 25\,\%, cette salle sera installée.
 
L'entreprise implantera-t-elle la salle de relaxation ? Justifier la réponse. 
\item Sachant que le questionnaire choisi est celui d'un employé stressé, quelle est la probabilité qu'il travaille dans le secteur A ? (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$)
\end{enumerate} 


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit \og alpha\fg{} fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
 
Le coût marginal de fabrication du produit \og alpha\fg{} par l'entreprise est modélisé par la fonction $C_{m}$ définie sur l'intervalle $[1 ; 20]$ par 

\[C_{m}(q) = 4+ \left(0,2q^2 - 2q\right)\e^{- 0,2q},\]

 $q$ étant la quantité exprimée en tonnes et $C_{m}(q)$ son coût exprimé en milliers d'euros.

 
\begin{enumerate}
\item La fonction coût total est modélisée par la fonction $C_{T}$ définie sur l'intervalle $[1 ; 20]$ par : 

\[C_{T}(q) = 4q - q^2 \e^{-0,2q}.\]

Vérifier que cette fonction $C_{T}$ est une primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[1 ; 20]$. 
\item La fonction coût moyen, notée $C_{M}$, est la fonction définie sur l'intervalle $[1 ; 20]$ par : 
\[C_{M}(q) = \dfrac{C_{T}(q)}{q}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $C_{M}(q) = 4 - q \e^{-0,2q}$. 
		\item Déterminer la fonction dérivée ${C_{M}}'$ de la fonction $C_{M}$· 
		\item Pour quelle production mensuelle $q_{0}$ (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
		 
Quel est ce coût ? Pour cette production $q_{0}$, quelle est la valeur du coût marginal ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle.

Chaque tonne du produit \og alpha\fg{} est vendu  4000~euros.
 
On désigne par $R(q)$ la recette mensuelle obtenue pour  la vente de $q$ tonnes du produit \og alpha\fg{} et par $B(q)$ le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
 
Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans l'annexe 2 à rendre avec la copie.
 
Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié. 
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(42,36)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(20.5,36){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe 2 : à rendre avec la copie}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(42,34)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.16cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(21,85)
\uput[dl](21,0){$x$} \uput[dl](0,85){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{1}{20}{4*x}
\psplot[algebraic=true, plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{20}{4*x-x^2*EXP(-.2*x)}
\end{pspicture}
\end{center}

        
\end{document}