sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Calculer le taux d'évolution de ce nombre d'internautes entre 2002 et 2009. On donnera le résultat à 0,1 près.

   Le taux d'évolution de ce nombre d'internautes entre 2002 et 2009 est :$${\displaystyle \frac{385-60}{60}}\times 100\approx \mathrm{541,7}$$

   Entre 2002 et 2009, le nombre d'internautes a augmenté de 541,7 %.

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2. Représenter sur votre copie le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

   • Sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 1 an,
   • Sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 20 millions d'internautes (en plaçant 50 à l'origine).

3. On cherche dans un premier temps un ajustement affine.

   1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis à l'unité). Tracer cette droite sur le graphique précédent.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=41x-66$ ( coefficients arrondis à l'unité).

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   2. En supposant que cet ajustement reste valable pour l'année suivante, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en Chine en 2010.

      Le rang de l'année 2010 est 10 et $$41\times 10-66=344$$

      Selon cet ajustement, le nombre d'internautes en Chine en 2010 serait de 344 millions.

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4. Une étude récente a montré qu'au 1er mai 2010, on a dépassé les 400 millions d'internautes en Chine. On envisage donc un ajustement exponentiel et on pose $z=\ln x$.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_i$ au millième :

      $x_i$	2	3	4	5	6	7	8	9
      $z_i=\ln y_i$	4,094	4,248	4,554	4,605	4,942	5,075	5,521	5,953

   2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième).

      Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $z=\mathrm{0,253}x+\mathrm{3,481}$ (coefficients arrondis au millième).

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   3. En déduire une expression de y en fonction de x.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ d'où $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,253}x+\mathrm{3,481}}$

      Ainsi, $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,253}x+\mathrm{3,481}}$

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   4. En prenant l'approximation $y\approx \mathrm{32,5}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,253}x}$ et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en 2012.

      Le rang de l'année 2012 est 12 et $$\mathrm{32,5}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,253}\times 12}\approx \mathrm{676,7}$$

      Selon cet ajustement, le nombre d'internautes en Chine en 2012 serait de 677 millions.

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