Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Centres Étrangers

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan Oıȷ, la courbe Cf représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -66.
La droite (T) d'équation y=x+3 est tangente à la courbe Cf au point I de coordonnées (0 ; 3).

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ne rapporte ni n'enlève aucun point.


  1. Le nombre dérivé de f en 0 est égal à :

    1. 0

    2. 1

    3. 3

  2. On pose J=-10fxdx. On peut affirmer que :

    1. -2<J<0

    2. -4<J<-2

    3. 2<J<4

  3. On appelle F une primitive de f sur l'intervalle -66 :

    1. F est croissante sur l'intervalle -32

    2. F est décroissante sur l'intervalle -15

    3. F est croissante sur l'intervalle -15

  4. On considère la fonction g définie sur l'intervalle -66 par : gx=expfx=efx. On peut affirmer que :

    1. la fonction g a les mêmes variations que f sur l'intervalle -66

    2. la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle -66

    3. la fonction g a les variations inverses de celles de f sur l'intervalle -66


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous présente l'évolution du nombre d'internautes en Chine de 2002 à 2009. Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 2000.

Année 20022003200420052006200720082009
Rang de l'année xi23456789
Nombre d'internautes yi (en millions)607095100140160250385

On cherche à étudier l'évolution du nombre d'internautes en fonction du rang x de l'année.

  1. Calculer le taux d'évolution de ce nombre d'internautes entre 2002 et 2009. On donnera le résultat à 0,1 près.

  2. Représenter sur votre copie le nuage de points Mixiyi associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

    • Sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 1 an,
    • Sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 20 millions d'internautes (en plaçant 50 à l'origine).
  3. On cherche dans un premier temps un ajustement affine.

    1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis à l'unité). Tracer cette droite sur le graphique précédent.

    2. En supposant que cet ajustement reste valable pour l'année suivante, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en Chine en 2010.

  4. Une étude récente a montré qu'au 1er mai 2010, on a dépassé les 400 millions d'internautes en Chine. On envisage donc un ajustement exponentiel et on pose z=lnx.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième :

      xi23456789
      zi=lnyi4,094       
    2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième).

    3. En déduire une expression de y en fonction de x.

    4. En prenant l'approximation y32,5×e0,253x et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en 2012.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la fonction f , définie pour tout réel x de l'intervalle 010 et tout réel y de l'intervalle 08 par fxy=14xy.
La représentation graphique de la surface (S) d'équation z=fxy dans un repère  orthonorméOıȷk est donnée en annexe.

partie a

  1. Sur le graphique de l'annexe colorer la courbe de niveau (Γ) de cote 10. Donner la nature de cette courbe.

  2. Placer sur le graphique de l'annexe le point C d'ordonnée 5 appartenant à cette courbe (Γ). Déterminer graphiquement l'abscisse de ce point.

  3. Vérifier que le point B de coordonnées 623 appartient à la surface (S).

Surface (S)

Surface (S) : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b

Les membres du bureau du foyer socio-éducatif d'un lycée font une étude pour déterminer quelle cotisation demander par élève au cours de l'année 2010.
Ils voudraient investir le quart des cotisations dans la rénovation de la salle de détente, réservée aux élèves.
Si la cotisation s'élève à x euros avec 0x10 et si y centaines d'élèves adhèrent au foyer avec 0y8, la somme allouée aux travaux de rénovation de la salle de détente en centaines d'euros sera égale à fxy.

  1. Quelle est la somme allouée à la rénovation de la salle de détente lorsque la cotisation est fixée à 6 euros par élève et que 600 élèves sont adhérents au foyer ?

  2. Les membres du foyer font l'hypothèse que le nombre y, en centaines d'adhérents, et le nombre x, en euros, sont directement liés par la relation y=12-x

    1. Montrer que , sous cette contrainte, on peut exprimer fxy en fonction de la seule variable x sous la forme hx=3x-14x2.

    2. Déterminer pour quelle valeur de x la somme allouée sera la plus élevée.

    3. De quelle somme en euros disposeront les membres du foyer pour la rénovation dans ce cas ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 032 par fx=ln-2x+3+2x.
La fonction f est dérivable sur l'intervalle I et on note f sa fonction dérivée.

  1. Étudier la limite de f en 32.

    1. Montrer que la fonction f est définie sur l'intervalle I par fx=-4x+4-2x+3.

    2. Déterminer le signe de fx sur l'intervalle I et donner le tableau des variations de f .

    1. Montrer que, sur l'intervalle 01, l'équation fx=1,9 admet une unique solution α.

    2. Donner une valeur approchée à 10− 2 près par défaut de α .

partie b Application de la partie A

Une entreprise, fournisseur d'énergie, envisage d'installer un parc d'éoliennes en pleine mer.
L'installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d'éloigner les éoliennes des turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement.
On note x la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte.
Pour des raisons techniques, l'installation doit se faire entre deux et douze kilomètres de la côte, c'est-à-dire qu'on a 0,2x1,2.
Un service spécialisé, au sein de l'entreprise, arrive à la modélisation suivante :
Si l'installation se fait à x dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d'euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par fx.

    1. À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d'énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maximal ?

    2. Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.

  1. À partir de quelle distance x de la côte, exprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il 190 000 euros ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles.
Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.
Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture.
Lorsqu'un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu'il demande une barquette de myrtilles est de 0,3 et la probabilité qu'il demande une barquette de groseilles est de 0,5.
Lorsqu'un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises dans 60 % des cas.

Un client achète une barquette. On notera :

  1. Reporter sur l'arbre donné les données de l'énoncé.
    On pourra compléter l'arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu'il achète une barquette de fruits à confiture.

    2. Le client achète une barquette de fruits à déguster ; quelle est la probabilité qu'il demande des myrtilles ?

  2. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,24.

  3. Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture ?

  4. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit, 2 euros la barquette de framboises à déguster et 3 euros la barquette de myrtilles à déguster ;

    1. On note xi les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et pi leur probabilité.
      Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses.

      Valeur xi523
      Probabilité associée :pi   
    2. Calculer l'espérance de cette loi de probabilité.

    3. Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 150 barquettes vendues ?



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