sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a : Étude statistique et interpolation de données

1. Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=-\mathrm{0,2}x+30$ (coefficients arrondis arrondis au dixième).

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2. Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des seniors en 1999.

   Le rang de l'année 1999 est 7 et $$-\mathrm{0,2}\times 7+30=\mathrm{28,6}$$

   Selon cet ajustement, le taux d'emploi des seniors en 1999 était de 28,6%.

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3. Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.

   Le rang de l'année 2010 est 18 or le nuage de points est ajusté par une fonction affine f décroissante, par conséquent $f\left(18\right)<f\left(9\right)$.

   Selon cet ajustement, la France n'a pas atteint l'objectif fixé en 2010.

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partie b : Interpolation de données à l'aide d'un second modèle

Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8 % en 1999 et on admet qu'à partir de l'année 2000 + n, il est donné par l'expression $\mathrm{29,9}\times {\mathrm{1,037}}^n$ où n désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :

Attention dans cette partie, le rang de l'année a été modifié

1. Le taux d'emploi des seniors en 2010.

   $$\mathrm{29,9}\times {\mathrm{1,037}}^{10}\approx 43$$

   Selon ce modèle, le taux d'emploi des seniors en 2010 était de 43%.

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2. À partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.

   $\mathrm{1,037}>1$ donc la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\mathrm{29,9}\times {\mathrm{1,037}}^x$ est croissante.

   Par conséquent le rang n de l'année à partir de laquelle la France a atteint son objectif est le plus petit entier n solution de l'inéquation :$$\begin{array}{ccc}\mathrm{29,9}\times {\mathrm{1,037}}^n⩾50& \iff & {\mathrm{1,037}}^n⩾{\displaystyle \frac{50}{\mathrm{29,9}}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,037}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{50}{\mathrm{29,9}}}\right)\hfill \\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,037}⩾\ln 50-\ln \mathrm{29,9}\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln 50-\ln \mathrm{29,9}}{\ln \mathrm{1,037}}}\hfill \end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln 50-\ln \mathrm{29,9}}{\ln \mathrm{1,037}}}\approx \mathrm{14,1}$. Donc le plus petit entier $n⩾{\displaystyle \frac{\ln 50-\ln \mathrm{29,9}}{\ln \mathrm{1,037}}}$ est $n=15$.

   Selon ce modèle, la France atteindra son objectif en 2015.

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partie c : Extrapolation de données selon un troisième modèle

1. En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier a et b.

   a et b sont solutions du système $\{\begin{array}{c}a\ln \left(10\right)+b=\mathrm{31,9}\\ a\ln \left(15\right)+b=\mathrm{38,1}\end{array}$

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2. En déduire que $a={\displaystyle \frac{\mathrm{6,2}}{\ln \mathrm{1,5}}}$.

   $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}a\ln 10+b=\mathrm{31,9}\\ a\ln 15+b=\mathrm{38,1}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}b=\mathrm{31,9}-a\ln 10\hfill \\ a\ln 15+\mathrm{31,9}-a\ln 10=\mathrm{38,1}\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}b=\mathrm{31,9}-a\ln 10\hfill \\ a\times \left(\ln 15-\ln 10\right)=\mathrm{38,1}-\mathrm{31,9}\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}b=\mathrm{31,9}-a\ln 10\hfill \\ a\ln \mathrm{1,5}=\mathrm{6,2}\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}b=\mathrm{31,9}-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,2}\ln 10}{\ln \mathrm{1,5}}}\hfill \\ a={\displaystyle \frac{\mathrm{6,2}}{\ln \mathrm{1,5}}}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $a={\displaystyle \frac{\mathrm{6,2}}{\ln \mathrm{1,5}}}\approx \mathrm{15,3}$ et $b=\mathrm{31,9}-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,2}\ln 10}{\ln \mathrm{1,5}}}\approx -\mathrm{3,3}$

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3. Dans la suite, on admettra que $a=\mathrm{15,3}$ et $b=-\mathrm{3,3}$. Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.

   f est la fonction définie sur $\left[9;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\mathrm{15,3}\ln \left(x+1\right)-\mathrm{3,3}$. f est une fonction croissante comme composée de fonctions croissantes.

   Par conséquent le rang n de l'année à partir de laquelle la France a atteint son objectif est le plus petit entier n solution de l'inéquation :$$\begin{array}{ccc}\mathrm{15,3}\ln \left(n+1\right)-\mathrm{3,3}⩾50& \iff & \ln \left(n+1\right)⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{53,3}}{\mathrm{15,3}}}\hfill \\ & \iff & n+1⩾{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{53,3}}{\mathrm{15,3}}}\hfill \\ & \iff & n⩾{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{53,3}}{\mathrm{15,3}}}-1\hfill \end{array}$$

   Or ${\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{53,3}}{\mathrm{15,3}}}-1\approx \mathrm{31,6}$. Donc le plus petit entier $n⩾{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{53,3}}{\mathrm{15,3}}}-1$ est $n=32$.

   Selon ce modèle, la France atteindra son objectif en 2024.

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