Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse exacte.
Barème : Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
On considère la fonction f définie par . On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
L'ensemble de définition de la fonction f est :
Le point de d' abscisse a pour ordonnée :
− 0,2876820725 |
On considère à présent la fonction g définie sur par
Sur , l'inéquation admet comme ensemble de solutions :
Sur , l'expression de la dérivée de la fonction g est égale à :
x |
On rappelle que :
Selon un rapport de l'INSEE :
« Le taux d'emploi des personnes âgées de 55 à 64 ans est considéré comme un levier privilégié pour limiter l'exclusion de ces personnes du marché du travail et maîtriser les dépenses de retraites. En 2008, il est de 45,6 % dans l'UE, mais seulement de 38,3 % en France alors que l'objectif de l'UE comme de la France est d'atteindre 50 % en 2010. »
Le but de l'exercice est de vérifier si la France a atteint l'objectif visé par l'UE.
Dans tout l'exercice, le taux d'emploi sera exprimé en pourcentage. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.
Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 1992 et 1998 :
Année | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
Rang de l'année | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Taux d'emploi des seniors en % | 29,8 | 29,7 | 29,6 | 29,6 | 29,4 | 29 | 28,3 |
Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des seniors en 1999.
Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.
Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8 % en 1999 et on admet qu'à partir de l'année 2000 + n, il est donné par l'expression où n désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :
Le taux d'emploi des seniors en 2010.
À partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.
Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 2001 et 2009 :
Année | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 |
Rang de l'année | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
Taux d'emploi des seniors en % | 31,9 | 34,7 | 37 | 37,8 | 38,5 | 38,1 | 38,2 | 38,2 | 38,9 |
Désormais, à partir de 2001, on choisit un modèle logarithmique et on admettra qu'à partir de 2001, le taux d'emploi des seniors est donné par la fonction f définie sur par où a et b désignent deux nombres réels.
En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier a et b.
En déduire que .
Dans la suite, on admettra que et .
Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.
On considère les fonctions f , g et h définies sur par , et .
On note la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan.
Vérifier, par le calcul, que la tangente à au point d'abscisse 0 est la droite Δ .
Montrer que pour tout , .
Étudier le signe de suivant les valeurs de x.
En déduire le sens de variation de la fonction h sur .
En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe et de sa tangente au point d'abscisse 0.
Montrer que .
Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit a un nombre réel vérifiant . On appelle D le domaine colorié sur le graphique. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D.
Déterminer en fonction de a la valeur de A .
Déterminer la limite de A lorsque a tend vers .
On rappelle que pour tout évènement A et B d'un univers :
Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année scolaire.
Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
On note :
On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES.
Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au millième.
Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :
Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis.
Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
Démontrer que la probabilité de l'évènement S est 0,125.
On interroge trois élèves au hasard. Calculer la probabilité qu'au moins un élève soit surpris ?
En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes :
En 2010, 92 % des clients sont des clients d'agence et 8 % des clients sont des clients internet.
On admet que chaque année, 5 % des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1 % des clients internet deviennent clients d'agence.
On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.
On s'intéresse à l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir.
On note pour tout entier naturel n :
On note M la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n, .
Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.
Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
Donner la matrice traduisant l'état probabiliste initial.
On admettra que .
Calculer la matrice .
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en 2015.
Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients. Interpréter le résultat.
À l'aide de la relation , exprimer en fonction de et .
En déduire que pour tout entier naturel n, .
On définit la suite par pour tout entier naturel n.
Montrer que la suite est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l'expression de en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite lorsque n tend vers . Interpréter le résultat.
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