Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Liban

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse exacte.
Barème : Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.

  1. On considère la fonction f définie par fx=ln1-x2. On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

    1. L'ensemble de définition de la fonction f est :

      0+-11-111+
    2. Le point de Cf d' abscisse 12 a pour ordonnée :

      ln12ln1-ln12ln3-2ln2− 0,2876820725
  2. On considère à présent la fonction g définie sur 1+ par gx=lnlnx

    1. Sur 1+, l'inéquation gx>0 admet comme ensemble de solutions :

      1e1+e+e+
    2. Sur 1+, l'expression de la dérivée de la fonction g est égale à :

      1lnx1x×1xx1xlnx

EXERCICE 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On rappelle que :

Selon un rapport de l'INSEE :
« Le taux d'emploi des personnes âgées de 55 à 64 ans est considéré comme un levier privilégié pour limiter l'exclusion de ces personnes du marché du travail et maîtriser les dépenses de retraites. En 2008, il est de 45,6 % dans l'UE, mais seulement de 38,3 % en France alors que l'objectif de l'UE comme de la France est d'atteindre 50 % en 2010. »

Le but de l'exercice est de vérifier si la France a atteint l'objectif visé par l'UE.

Dans tout l'exercice, le taux d'emploi sera exprimé en pourcentage. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.

partie a : Étude statistique et interpolation de données

Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 1992 et 1998 :

Source : INSEE, Eurostat
Année 1992199319941995199619971998
Rang de l'année xi0123456
Taux d'emploi des seniors en % yi29,829,729,629,629,42928,3
  1. Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

  2. Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des seniors en 1999.

  3. Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.

partie b : Interpolation de données à l'aide d'un second modèle

Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8 % en 1999 et on admet qu'à partir de l'année 2000 + n, il est donné par l'expression 29,9×1,037nn désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :

  1. Le taux d'emploi des seniors en 2010.

  2. À partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.

partie c : Extrapolation de données selon un troisième modèle

Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 2001 et 2009 :

Source : INSEE, Eurostat
Année 200120022003200420052006200720082009
Rang de l'année xi91011121314151617
Taux d'emploi des seniors en % yi31,934,73737,838,538,138,238,238,9

Désormais, à partir de 2001, on choisit un modèle logarithmique et on admettra qu'à partir de 2001, le taux d'emploi des seniors est donné par la fonction f définie sur 9+ par fx=alnx+1+ba et b désignent deux nombres réels.

  1. En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier a et b.

  2. En déduire que a=6,2ln1,5.

  3. Dans la suite, on admettra que a=15,3 et b=-3,3.

    Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On considère les fonctions f , g et h définies sur par fx=e-x, gx=-x+1 et hx=fx-gx.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

partie a : Position relative de Cf et de l'une de ses tangentes.

  1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est la droite Δ .

    1. Montrer que pour tout x, hx=1-e-x.

    2. Étudier le signe de hx suivant les valeurs de x.

    3. En déduire le sens de variation de la fonction h sur .

  2. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe Cf et de sa tangente au point d'abscisse 0.

partie b : Calcul d'aire

  1. Montrer que 01hxdx=12-1e.

  2. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.

    Soit a un nombre réel vérifiant a>1. On appelle D le domaine colorié sur le graphique. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer en fonction de a la valeur de A .

    2. Déterminer la limite de A lorsque a tend vers + ∞ .


exercice 4 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On rappelle que pour tout évènement A et B d'un univers :

Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année scolaire.
Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
On note :

On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES.

Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au millième.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé.

  2. Déterminer la probabilité des évènements suivants :

    1. TA

    2. TA¯

    3. T¯A

    4. T¯A¯

    1. Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis.

    2. Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.

  3. Démontrer que la probabilité de l'évènement S est 0,125.

  4. On interroge trois élèves au hasard. Calculer la probabilité qu'au moins un élève soit surpris ?


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes :

En 2010, 92 % des clients sont des clients d'agence et 8 % des clients sont des clients internet.
On admet que chaque année, 5 % des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1 % des clients internet deviennent clients d'agence.

On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir.
On note pour tout entier naturel n :

On note M la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M.

partie a : État stable d'un graphe probabiliste

Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.

  1. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.

  2. Donner P0 la matrice traduisant l'état probabiliste initial.

  3. On admettra que M=0,950,050,010,99.

    1. Calculer la matrice P1.

    2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en 2015.

  4. Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients. Interpréter le résultat.

partie b : Étude de la limite d'une suite récurrente

    1. À l'aide de la relation Pn+1=Pn×M, exprimer an+1 en fonction de an et in.

    2. En déduire que pour tout entier naturel n, an+1=0,94an+0,01.

  1. On définit la suite un par un=an-16 pour tout entier naturel n.

    1. Montrer que la suite un est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. En déduire l'expression de un en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, an=113150×0,94n+16.

    4. Déterminer la limite de la suite an lorsque n tend vers + ∞ . Interpréter le résultat.



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