sujet : Nouvelle Calédonie mars 2011

correction de l'exercice 1 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Dessiner un arbre pondéré traduisant la situation.

   La population comporte 52% de femmes et 48% d'hommes d'où $p\left(F\right)=\mathrm{0,52}$ et $p\left(H\right)=\mathrm{0,42}$

   31% des femmes interrogées et 34% des hommes interrogés ont répondu qu'un système européen de protection sociale serait l'élément qui renforcerait le plus leur sentiment d'être un citoyen européen d'où $p_F\left(S\right)=\mathrm{0,31}$ et $p_H\left(S\right)=\mathrm{0,34}$

   L'arbre pondéré traduisant la situation est :

2. Calculer la probabilité qu'une réponse du sondage soit celle d'un homme souhaitant avoir un système de protection social européen. On donnera la valeur exacte.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(H\cap S\right)=p_H\left(S\right)\times p\left(H\right)& \text{soit}& p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,34}\times \mathrm{0,48}=\mathrm{0,1632}\end{array}$$

   La probabilité qu'une réponse du sondage soit celle d'un homme souhaitant avoir un système de protection social européen est égale à 0,1632.

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3. Montrer que la probabilité de l'évènement S est 0,3244.

   Les évènements H et F déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(H\cap S\right)+p\left(F\cap S\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap S\right)=p_F\left(S\right)\times p\left(F\right)& \text{soit}& p\left(F\cap S\right)=\mathrm{0,31}\times \mathrm{0,52}=\mathrm{0,1612}\end{array}$$ Donc $$p\left(S\right)=\mathrm{0,1632}+\mathrm{0,1612}=\mathrm{0,3244}$$

   La probabilité de l'évènement S est égale à 0,3244.

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4. Sachant que la personne souhaite avoir un système de protection social européen, calculer la probabilité, arrondie au millième, que ce soit une femme.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{soit}& p_S\left(F\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1612}}{\mathrm{0,3244}}}\approx \mathrm{0,4969}\end{array}$$

   Parmi les personnes qui souhaitent avoir un système de protection social européen, la probabilité, arrondie au millième près, de choisir la réponse d'une femme est 0,4969.

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5. On choisit au hasard trois réponses de ce sondage.
   On admet que le nombre de réponses est suffisamment grand pour assimiler le choix de trois réponses à des tirages successifs indépendants avec remise.
   Déterminer la probabilité qu'au moins deux des trois réponses soient « avoir un système de protection social européen ». On arrondira le résultat au millième.

   Le choix de trois réponses est assimilé à des tirages successifs indépendants avec remise alors, la loi de probabilité associée au nombre de réponses « avoir un système de protection social européen » est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,3244.

   Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :

   L'évènement au moins deux des trois réponses sont « avoir un système de protection social européen » correspond aux issues $SSS$, $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS$ . Donc la pobabilité p cherchée est $$p={\mathrm{0,3244}}^3+3\times {\mathrm{0,3244}}^2\times \left(1-\mathrm{0,3244}\right)\approx \mathrm{0,2474}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins deux des trois réponses soient « avoir un système de protection social européen » est 0,2474.

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