sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Quel est le pourcentage de baisse du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation (de $t_0$ à $t_6$ ) ?

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation est : $${\displaystyle \frac{27}{90}}=\mathrm{0,3}$$ Soit une baisse de 70 %

   Au bout de six ans d'utilisation, le prix de revente de la machine a baissé de 70 %.

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2. Étude d'un modèle affine

   1. Représenter graphiquement le nuage de points $M\left(t_i;y_i\right)$ pour $0⩽i⩽6$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques :
      ¯ 1cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;
      ¯ 1cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

   2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de y en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en t par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=-\mathrm{10,36}t+\mathrm{84,48}$ (Coefficients arrondis arrondis au centième)

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      Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(0;\mathrm{84,48}\right)$ et $\left(5;\mathrm{32,68}\right)$.

   3. On sait qu'au bout de 10 ans la valeur de revente est de 1 000 euros. Le modèle vous semble-t-il adapté pour des calculs à plus long terme ?

      $$-\mathrm{10,36}\times 10+\mathrm{84,48}=-\mathrm{19,12}$$

      Avec cet ajustement, la valeur de revente de la machine au bout de dix ans d'utilisation est négative donc ce modèle n'est pas adapté pour des calculs à plus long terme.

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3. Étude d'un modèle exponentiel

   1. Pour $0⩽i⩽6$, on pose $z_i=\ln \left(y_i\right)$. Recopier et compléter le tableau suivant (en arrondissant les nombres au dixième) :

      Temps écoulé depuis l'achat $t_i$   $0⩽i⩽6$	0	1	2	3	4	5	6
      $z_i=\ln \left(y_i\right)$ $0⩽i⩽6$	4,5	4,3	4,1	3,9	3,7	3,5	3,3

   2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième).

      Une équation de la droite d'ajustement de z en t par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $z=-\mathrm{0,2}t+\mathrm{4,5}$.

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   3. En déduire que $y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t+\mathrm{4,5}}$ est un ajustement exponentiel possible.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{l}y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t+\mathrm{4,5}}\end{array}$$

      D'où l'ajustement exponentiel, $y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t+\mathrm{4,5}}$.

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   4. Déterminer à l'aide de ce modèle une estimation de la valeur de revente au bout de 10 ans d'utilisation. Ce modèle vous semble-t-il mieux adapté que celui de l'ajustement affine ? Justifier la réponse.

      $${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}\times 10+\mathrm{4,5}}\approx \mathrm{12,18}$$

      Avec cet ajustement, la valeur de revente de la machine au bout de dix ans d'utilisation est surévaluée de 21,8% donc ce modèle n'est pas plus adapté pour des calculs à long terme.

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