sujet : Pondichery

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de $p\left(T\right)$ et celle de $p_T\left(C\right)$, probabilité de l'évènement C sachant que T est réalisé.

   • 30% des clients choisissent la tarte tatin d'où $p\left(T\right)=\mathrm{0,3}$

     ---

   • Parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60% prennent un café d'où $p_T\left(C\right)=\mathrm{0,6}$

     ---

2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :

   • Parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80% prennent un café d'où $$\begin{array}{ccc}{p}_M\left(\overline{C}\right)=1-p_M\left(C\right)& \text{soit}& p_M\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

   • 20% des clients ne prennent pas de dessert d'où $p\left(T\right)=\mathrm{0,2}$. Parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90% prennent un café d'où $p_P\left(C\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_P\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,1}$.

   L'arbre pondéré traduisant la situation est :

3. 1. Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement $M\cap C$ puis calculer $p\left(M\cap C\right)$.

      $M\cap C$ est l'évènement : « Le client prend un assortiment de macarons et un café ». Or $$\begin{array}{ccc}p\left(M\cap C\right)=p_M\left(C\right)\times p\left(M\right)& \text{Soit}& p\left(M\cap C\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,4}\end{array}$$

      La probabilité que le client prenne un assortiment de macarons et un café est 0,4.

      ---

   2. Montrer que $p\left(C\right)=\mathrm{0,76}$.

      Aucun client ne prend plusieurs dessert par conséquent, les évènements M, T et P déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(C\right)=p\left(M\cap C\right)+p\left(T\cap C\right)+p\left(P\cap C\right)$$

      Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(T\cap C\right)=p_T\left(C\right)\times p\left(T\right)\hfill & \text{et}& p\left(P\cap C\right)=p_P\left(C\right)\times p\left(P\right)\hfill \\ \text{soit}& p\left(T\cap C\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,18}\hfill & \text{et}& p\left(P\cap C\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,18}\hfill \end{array}$$ Donc $$p\left(C\right)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,18}+\mathrm{0,18}=\mathrm{0,76}$$

      La probabilité de l'évènement C est égale à 0,76.

      ---

4. Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).

   $$\begin{array}{ccc}{p}_C\left(M\right)={\displaystyle \frac{p\left(M\cap C\right)}{p\left(C\right)}}& \text{soit}& p_C\left(M\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,76}}}\approx \mathrm{0,53}\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café est 0,53.

   ---

5. Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte tatin est vendue 7 € et un café est vendu 2 €.
   Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 € ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.

   1. Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?

      à chacune des six éventualités, on associe le montant en euros que le client va dépenser :

      Évènements	$M\cap C$	$M\cap \overline{C}$	$T\cap C$	$T\cap \overline{C}$	$P\cap C$	$P\cap \overline{C}$
      Sommes $s_i$	$18+6+2=26$	$18+6=24$	$18+7+2=27$	$18+7=25$	$18+2=20$	18

      ---

      L'ensemble des six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client est $\left\{18;20;24;25;26;27\right\}$

      ---

   2. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client.

      Calculons les probabilités suivantes : $$\begin{array}{ccccc}p\left(M\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,1}& \text{;}& p\left(T\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}& \text{;}& p\left(P\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,02}\end{array}$$

      D'où le tableau donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :

      Sommes $s_i$	18	20	24	25	26	27
      $p\left(s_i\right)$	0,02	0,18	0,1	0,12	0,4	0,18

   3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

      L'espérance mathématique de cette loi est :$$18\times \mathrm{0,02}+20\times \mathrm{0,18}+24\times \mathrm{0,1}+25\times \mathrm{0,12}+26\times \mathrm{0,4}+27\times \mathrm{0,18}=\mathrm{24,62}$$

      Sur un grand nombre de clients, le restaurateur peut espérer une dépense moyenne par client de 24,62  €

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.