sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à cette série statistique est représenté en annexe 1 dans un repère orthogonal. L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine.

   1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage puis placer ce point sur le graphique de l'annexe 1.

      Les coordonnées du point moyen $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ sont $$\begin{array}{ccc}\overline{x}={\displaystyle \frac{1+2+3+4}{4}}=\mathrm{2,5}& \text{et}& \overline{y}={\displaystyle \frac{40+45+55+70}{4}}=\mathrm{52,5}\end{array}$$

      Le point moyen a pour coordonnées $G\left(\mathrm{2,5};\mathrm{52,5}\right)$

      ---

   2. On appelle (d) la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Parmi les deux propositions ci-dessous, une seule correspond à l'équation réduite de la droite (d). Préciser laquelle, en utilisant le point moyen G : $$\begin{array}{ccc}y=9x+29& & y=10x+\mathrm{27,5}\end{array}$$

      La droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen $G\left(\mathrm{2,5};\mathrm{52,5}\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}9\times \mathrm{2,5}+29=\mathrm{51,5}& \text{et}& 10\times \mathrm{2,5}+\mathrm{27,5}=\mathrm{52,5}\end{array}$$

      La droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation $y=10x+\mathrm{27,5}$.

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   3. Tracer la droite (d) sur le graphique de l'annexe 1.

2. En supposant que cet ajustement reste valable pendant les deux mois qui suivent l'ouverture du site, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.

   $$10\times 8+\mathrm{27,5}=\mathrm{107,5}$$

   Avec cet ajustement, on peut estimer qu'i y aura 107 500 visites au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.

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partie b

1. Compléter le nuage de points fourni dans l'annexe 1 par les trois nouveaux points définis dans le tableau précédent.

   Compte tenu de l'allure du nuage, un ajustement exponentiel semble approprié. Pour cela on pose $z=\ln y$.

2. On donne ci-dessous les valeurs de $z_i=\ln \left(y_i\right)$ pour $1⩽i⩽7$, les résultats étant arrondis au centième.

   Semaine $x_i$, $1⩽i⩽7$	1	2	3	4	5	6	7
   $z_i=\ln \left(y_i\right)$, $1⩽i⩽7$	3,69	3,81	4,01	4,25	4,55	4,83	5,16

   1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
      On donnera la réponse sous la forme $z=ax+b$, en arrondissant les coefficients a et b au centième.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=\mathrm{0,25}x+\mathrm{3,33}$ (coefficients arrondis au centième)

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   2. En déduire la relation $y=\alpha {\mathrm{e}}^{\beta x}$ où 27,94 et 0,25 sont des valeurs approchées au centième des réels a et b respectivement.

      Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,25}x+\mathrm{3,33}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{3,33}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}\end{array}$$

      Or l'arrondi au centième de ${\mathrm{e}}^{\mathrm{3,33}}$ est 27,94.

      Une estimation du nombre y de milliers de pages visitées en fonction du rang x de la semaine est $y=\mathrm{27,94}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,25}x}$.

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   3. À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.
      Combien de semaines auraient été nécessaires pour atteindre ce résultat sans campagne publicitaire ? (on utilisera l'ajustement obtenu dans la partie A).

      Nous avons : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{27,94}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,25}\times 8}\approx \mathrm{206,45}& \text{et}& 10x+\mathrm{27,5}⩾\mathrm{206,45}\iff x⩾\mathrm{17,845}\end{array}$$

      Avec ce nouvel ajustement, le nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site est de 206 450. Ce résultat aurait été atteint avec l'estimation précédente au bout de 18 semaines.

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