Baccalauréat 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Pondichery

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :

20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que :

On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
On note :

  1. En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de pT et celle de pTC, probabilité de l'évènement C sachant que T est réalisé.

  2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement MC puis calculer pMC.

    2. Montrer que pC=0,76.

  3. Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).

  4. Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte tatin est vendue 7 € et un café est vendu 2 €.
    Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 € ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.

    1. Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?

    2. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :

      Sommes si182024
      psi0,020,18
    3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.


exercice 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur . On note fla fonction dérivée de f .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. En utilisant les données et le graphique, préciser :

    1. La valeur du réel f0 et la valeur du réel f0.

    2. La limite de la fonction f en + ∞.

  2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A .

  3. Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe Cf , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

  4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une expression de la forme fx=1+ax+bex, où a et b sont des nombres réels.

    1. Déterminer l'expression de fx en fonction de a, de b et de x.

    2. À l'aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l'on a, pour tout réel xfx=1+4x+2ex.

  5. Soit F la fonction définie et dérivable sur par Fx=x+-4x-6ex. On admet que F est une primitive de f sur .

    Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe Cf , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.
    Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3 ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le responsable d'un site Internet s'intéresse au nombre de pages visitées sur son site chaque semaine.

partie a

Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées, exprimé en milliers, durant chacune des quatre semaines suivant l'ouverture du site.

Semaine xi, 1i41234
Nombre de pages visitées en milliers yi, 1i440455570

Ainsi, au cours de la deuxième semaine après l'ouverture du site, 45 000 pages ont été visitées.

  1. Le nuage de points Mixiyi associé à cette série statistique est représenté en annexe 1 dans un repère orthogonal. L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine.

    1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage puis placer ce point sur le graphique de l'annexe 1.

    2. On appelle (d) la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Parmi les deux propositions ci-dessous, une seule correspond à l'équation réduite de la droite (d). Préciser laquelle, en utilisant le point moyen G : y=9x+29 y=10x+27,5

    3. Tracer la droite (d) sur le graphique de l'annexe 1.

  2. En supposant que cet ajustement reste valable pendant les deux mois qui suivent l'ouverture du site, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.

partie b

Le responsable décide de mettre en place, au cours de la quatrième semaine suivant l'ouverture du site, une vaste campagne publicitaire afin d'augmenter le nombre de visiteurs du site.
Il étudie ensuite l'évolution du nombre de pages du site visitées au cours des trois semaines suivant cette opération publicitaire.
Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées au cours des sept semaines suivant l'ouverture du site.

Semaine xi, 1i71234567
Nombre de pages visitées en milliers yi, 1i74045557095125175
  1. Compléter le nuage de points fourni dans l'annexe 1 par les trois nouveaux points définis dans le tableau précédent.

    Compte tenu de l'allure du nuage, un ajustement exponentiel semble approprié. Pour cela on pose z=lny.

  2. On donne ci-dessous les valeurs de zi=lnyi pour 1i7, les résultats étant arrondis au centième.

    Semaine xi, 1i71234567
    zi=lnyi, 1i73,693,814,014,254,554,835,16
    1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
      On donnera la réponse sous la forme z=ax+b, en arrondissant les coefficients a et b au centième.

    2. En déduire la relation y=αeβx où 27,94 et 0,25 sont des valeurs approchées au centième des réels a et b respectivement.

    3. À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.
      Combien de semaines auraient été nécessaires pour atteindre ce résultat sans campagne publicitaire ? (on utilisera l'ajustement obtenu dans la partie A).

annexe 1

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un orchestre doit effectuer une tournée passant par les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier.
Le graphe Γ ci-dessous représente les différentes villes de la tournée et les autoroutes reliant ces villes (une ville est représentée par un point, une autoroute par une arête) :

Graphe G : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Est-il possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute ? (la réponse sera justifiée). Si oui citer un trajet de ce type.

  2. On appelle M la matrice associée au graphe Γ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique).
    On donne la matrice M3 : M3=2562121354673223664973232794353813732347223532251223422533387554 Combien existe-t-il de chemins de longueur 3 reliant B à H? (la réponse devra être justifiée). Préciser ces chemins.

  3. Des contraintes de calendrier imposent en fait d'organiser un concert dans la ville F immédiatement après un concert dans la ville A.
    Le graphe Γ est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètres de chaque tronçon (les longueurs des segments ne sont pas proportionnelles aux distances).

    Graphe pondéré G : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Déterminer, en utilisant un algorithme dont on citera le nom, le trajet autoroutier le plus court (en kilomètres) pour aller de A à F. Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.
Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres.

Si x désigne la quantité journalière produite, on appelle CTx, pour x variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant.
La courbe Γ1 fournie en annexe 2 est la représentation graphique de la fonction CT sur l'intervalle 0,255.
La tangente à Γ1 au point A11 est horizontale.

partie a

    1. On admet que la recette Rx (en milliers d'euros) résultant de la vente de x centaines de litres de médicament, est définie sur 0,255 par Rx=1,5x.
      Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus ?

    2. Tracer, sur le graphique fourni en annexe 2, le segment représentant graphiquement la fonction R.

  1. Lectures graphiques

    Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe 2.
    Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.

    1. Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la « plage de rentabilité », c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif.

    2. Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés.

    3. Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ?
      À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu ?

partie b

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total CT est définie sur l'intervalle 0,255 par : CTx=x2-2xlnx

  1. Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour x centaines de litres commercialisés, est donné par :Bx=1,5x-x2+2xlnx Calculer B2, et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la partie A.

  2. On suppose que la fonction B est dérivable sur l'intervalle 0,255 et on note B sa fonction dérivée. Montrer que Bx=2lnx-2x+3,5.

  3. On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction B, dérivée de la fonction B, sur l'intervalle 0,255 :

    x0,25 1 5
     Bx

    y1

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1,5

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    y2

    On précise les encadrements : 0,22<y1<0,23 et -3,29<y2<-3,28.

    1. Démontrer que l'équation Bx=0 admet une solution unique α dans l'intervalle 0,255.

      Pour la suite de l'exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de α.

    2. Dresser le tableau précisant le signe de Bx pour x appartenant à l'intervalle 0,255.
      En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle 0,255.

    1. Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.

    2. Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A ?

annexe 2

Courbe représentative de la fonction CT : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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