sujet : La Réunion

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Compléter le tableau d'effectifs donné ci-dessous.

   D'après les données fournies par l'énoncé :

   • l'effectif du lycée est de 2000 élèves tel que : un quart des élèves est en terminale ; 35 % des élèves sont en première et tous les autres sont en seconde. Soit
     ${\displaystyle \frac{2000}{4}}=500$ élèves sont en terminale ; $2000\times \mathrm{0,35}=700$ élèves sont en première et $2000-\left(500+700\right)=800$ élèves sont en seconde.

     Nous pouvons donc remplir la dernière ligne du tableau.

   • 1 740 élèves utilisent régulièrement internet ; 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet et parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet. Soit :
     $500\times \mathrm{0,7}=350$ élèves de terminale régulièrement internet et $1740-\left(350+630\right)=760$ élèves sont en seconde

     Nous pouvons donc remplir la première ligne du tableau.

   • La deuxième ligne du tableau est complétée par différence entre les effectifs.

   	Seconde	Première	Terminale	Total
   Utilise internet régulièrement	760	630	350	1740
   N'utilise pas internet régulièrement	40	70	150	260
   Total	800	700	500	2000

2. Déterminer la probabilité d'obtenir le questionnaire d'un élève de seconde qui utilise régulièrement internet.

   Le choix au hasard d'un questionnaire est fait en situation d'équiprobabilité d'où :$$p\left(S\cap I\right)={\displaystyle \frac{760}{2000}}={\displaystyle \frac{19}{50}}=\mathrm{0,38}$$

   La probabilité d'obtenir le questionnaire d'un élève de seconde qui utilise régulièrement internet est égale à 0,38.

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3. Calculer la probabilité de I sachant T , notée $p_T\left(I\right)$, et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.

   Parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet d'où $p_T\left(I\right)=\mathrm{0,7}$

   La probabilité de choisir le questionnaire d'un élève qui utilise régulièrement internet parmi les questionnaires des élèves de terminale est égale à 0,7.

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4. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un élève qui n'utilise pas internet.

   D'après les données du tableau, $$p\left(\overline{I}\right)={\displaystyle \frac{260}{2000}}={\displaystyle \frac{13}{100}}=\mathrm{0,13}$$

   La probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un élève qui n'utilise pas internet est égale à 0,13.

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5. Le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet.
   Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d'un élève de première est égale à ${\displaystyle \frac{21}{58}}$.

   D'après les données du tableau, $$p_I\left(E\right)={\displaystyle \frac{630}{1740}}={\displaystyle \frac{21}{58}}$$

   Ainsi, la probabilité de E sachant I est égale à ${\displaystyle \frac{21}{58}}$.

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6. On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.
   Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d'un élève utilisateur régulier d'internet ? On en donnera la valeur arrondie au millième.

   • La probabilité q'un questionnaire tiré au hasard soit celui d'un élève utilisateur d'internet est égale à : $${\displaystyle \frac{1740}{2000}}=\mathrm{0,87}$$

   • L'expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard et avec remise, trois questionnaires est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
     La loi de probabilité associée au nombre questionnaires d'un utilisateur régulier d'internet est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,87.

   Notons à l'aide d'un mot de trois lettres les différentes issues de l'expérience aléatoire. Il y a trois issues qui correspondent à l'évènement « un questionnaire exactement est celui d'un élève utilisateur régulier d'internet » $I\overline{I}\overline{I}$, $\overline{I}I\overline{I}$ et $\overline{I}\overline{I}I$. D'où la probabilité : $$p=3\times \mathrm{0,87}\times {\mathrm{0,13}}^2\approx \mathrm{0,044}$$

   Arrondie au millième, la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d'un élève utilisateur régulier d'internet est 0,044.

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