sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 2 : commun à tous les candidats

En vue de sa prochaine brochure d'information sur les dangers d'internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des 2 000 élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale.
On obtient la répartition suivante :

• un quart des élèves est en terminale ;
• 35 % des élèves sont en première ;
• tous les autres sont en seconde ;
• parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet ;
• 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet.
• 1 740 élèves utilisent régulièrement internet.

Cette enquête permet de modéliser le choix d'un élève du lycée.
On choisit au hasard un questionnaire d'élève en supposant que ce choix se fait en situation d'équiprobabilité. On note :

• S l'évènement « le questionnaire est celui d'un élève en classe de seconde »
• E l'évènement « le questionnaire est celui d'un élève en classe de première »
• T l'évènement « le questionnaire est celui d'un élève en classe de terminale »
• I l'évènement « le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet »

1. Compléter le tableau d'effectifs donné ci-dessous.

   	Seconde	Première	Terminale	Total
   Utilise internet régulièrement
   N'utilise pas internet régulièrement
   Total

2. Déterminer la probabilité d'obtenir le questionnaire d'un élève de seconde qui utilise régulièrement internet.

3. Calculer la probabilité de I sachant T , notée $p_T\left(I\right)$, et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.

4. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un élève qui n'utilise pas internet.

5. Le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet.
   Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d'un élève de première est égale à ${\displaystyle \frac{21}{58}}$.

6. On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.
   Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d'un élève utilisateur régulier d'internet ?
   On en donnera la valeur arrondie au millième.

   L'expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard et avec remise, trois questionnaires est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre questionnaires d'un utilisateur régulier d'internet est une loi binomiale de paramètres 3 et ${\displaystyle \frac{1740}{2000}}=\mathrm{0,87}$.
   Notons à l'aide d'un mot de trois lettres les différentes issues de l'expérience aléatoire. Il y a trois issues qui correspondent à l'évènement « un questionnaire exactement est celui d'un élève utilisateur régulier d'internet » $II\overline{I}$, $I\overline{I}I$ et $\overline{I}II$.

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