Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un artisan glacier fabrique des glaces et des sorbets.
On appelle respectivement x et y les quantités de glace et de sorbet exprimées en centaines de litres, produites et vendues quotidiennement.
Le coût total de production z exprimé en dizaines d'euros, est donné par la relation : $z = 2 x^{2} + y^{2} - x y + 6 x$ , avec $x \in [0; 10]$ et $y \in [0; 10]$ .

Sur l'annexe :

la surface (S) représentant le coût de production en fonction de x et de y dans un repère orthogonal est donnée en figure 1 ;
la figure 2 représente la projection orthogonale de la surface (S) sur le plan (xOy) ;
les courbes de niveau de cette surface sont représentées pour z allant de 20 en 20.

1. C est le point de (S) d'abscisse 6 et d'ordonnée 2. Placer le point C sur la figure 1 donnée en annexe.
  Sur la surface, le point C est situé à l'intersection des lignes de niveau $x = 6$ et $y = 2$
2. Calculer la cote z du point C précédent. Interpréter le résultat obtenu.
  La cote z du point C est : $z = 2 \times 6^{2} + 2^{2} - 6 \times 2 + 6 \times 6 = 100$
  Le point C a pour coordonnées $C (6; 2; 100)$
3. On suppose dans cette question que $y = 4$ . Exprimer alors z en fonction de x.
  En déduire la nature de la section de la surface (S) par le plan d'équation $y = 4$ . Surligner en couleur cet ensemble sur la figure 1.
  $\begin{matrix} z = 2 x^{2} + 4^{2} - x \times 4 + 6 x & \Leftrightarrow & z = 2 x^{2} + 2 x + 16 \end{matrix}$
  La section de la surface (S) par le plan d'équation $y = 4$ est la partie de la parabole d'équation $z = 2 x^{2} + 2 x + 16$ avec $x \in [0; 10]$
Pour des raisons de stockage et de rentabilité, la fabrication de x centaines de litres de glace et de y centaines de litres de sorbet engendre la contrainte : $x + y = 10$ .
On note (E) l'ensemble des points du plan vérifiant cette contrainte.
1. La figure 2 donnée en annexe, représente les lignes de niveau des coûts de production. Représenter l'ensemble (E) sur cette figure.
  Dans l'espace, $x + y = 10$ est l'équation d'un plan parallèle à l'axe (Oz). La projection orthogonale dde ce plan sur le plan (xOy) est la droite d'équation $x + y = 10$
2. Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 10$ , z peut s'écrire sous la forme : $z = g (x)$ avec $g (x) = 4 x^{2} - 24 x + 100$ .
  Sous la contrainte $x + y = 10$ , on a $\begin{matrix} {\begin{matrix} z = 2 x^{2} + y^{2} - x y + 6 x \\ x + y = 10 \\ x \in [0; 10] et y \in [0; 10] \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} z = 2 x^{2} + {(10 - x)}^{2} - x (10 - x) + 6 x \\ y = 10 - x \\ x \in [0; 10] et y \in [0; 10] \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} z = 4 x^{2} - 24 x + 100 \\ y = 10 - x \\ x \in [0; 10] et y \in [0; 10] \end{matrix} \end{matrix}$
  Ainsi, sous la contrainte $x + y = 10$ , z peut s'écrire sous la forme : $z = g (x)$ avec $g (x) = 4 x^{2} - 24 x + 100$ et $x \in [0; 10]$ .
  Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
3. Déterminer les quantités de glace et de sorbet (en centaines de litres) qu'il faudrait produire pour que le coût de production soit minimum.
  La fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $x ⟼ 4 x^{2} - 24 x + 100$ atteint un minimum pour $x = - \frac{- 24}{2 \times 4} = 3$
  Comme $3 \in [0; 10]$ , le coût de production est minimum pour $x = 3$ et $y = 10 - 3 = 7$
  Sous la contrainte $x + y = 10$ , le coût de production est minimum pour 300 litres de glace et 700 litres de sorbet.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.