sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=x^2-3x+2-3\ln \left(x-2\right)$.
La courbe $C_f$ représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée en annexe.

1. 1. Donner par lecture graphique : $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      Graphiquement, $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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   2. Retrouver par le calcul $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$.

      $\underset{x\to 2}{\lim }x-2=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln X=-\infty$ donc par composition des limites, $\underset{x\to 2}{\lim }-3\ln \left(x-2\right)=+\infty$
      Or $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2-3x+2=0$ donc $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2-3x+2-3\ln \left(x-2\right)=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$. La courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=2$

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-3\right)\left(2x-1\right)}{x-2}}$.

      f est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$. Pour tout réel $x>2$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=2x-3-{\displaystyle \frac{3}{x-2}}& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2x-3\right)\left(x-2\right)-3}{x-2}}\hfill \\ & \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-7x+3}{x-2}}\hfill \end{array}$$

      Cherchons une factorisation du polynôme du second degré $P\left(x\right)=2x^2-7x+3$ avec $a=2$, $b=-7$ et $c=3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=49-24=25\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{7-5}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{7+5}{4}}=3\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $$2x^2-7x+3=2\times \left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\times \left(x-3\right)=\left(2x-1\right)\left(x-3\right)$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-3\right)\left(2x-1\right)}{x-2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $x-2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(x-3\right)\left(2x-1\right)$ sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$. D'où le tableau établissant le signe de $f\prime \left(x\right)$

      x		2			3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   3. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x		2			3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		2		$+\infty$

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3. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left(x-2\right)$.

   1. Soit G la fonction définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par : $G\left(x\right)=\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)-x$.
      Montrer que G est une primitive de g sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

      Sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, G est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables. $G=uv-w$ d'où $G\prime =u\prime v+uv\prime -w$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x-2\hfill & ;& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x-2\right)\hfill & ;& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}\hfill \\ w\left(x\right)=x\hfill & ;& w\prime \left(x\right)=1\hfill \end{array}$$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $$G\prime \left(x\right)=\ln \left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x-2}}-1=\ln \left(x-2\right)$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ donc G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

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   2. En déduire une primitive F de f sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=x^2-3x+2-3\times g\left(x\right)$. Donc une primitive F de f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+2x-3\times \left[\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)-x\right]={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+5x-3\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)$$

      Ainsi, une primitive F de f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+5x-3\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)$

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   3. Sur l'annexe (à rendre avec la copie), hachurer le domaine D, délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=3$ et $x=4$.

   4. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine D.
      On donnera la valeur exacte de celle aire puis une valeur approchée au centième près.

      Le minimum de la fonction f est égal à 2. Donc sur l'intervalle $\left[3;4\right]$, f est une fonction continue et positive alors, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine D, délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=3$ et $x=4$ est égale à $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_3^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(3\right)\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{64}{3}}-24+20-6\ln \left(2\right)\right)-\left(9-{\displaystyle \frac{27}{2}}+15\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{52}{3}}-6\ln \left(2\right)-{\displaystyle \frac{21}{2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{41}{6}}-6\ln 2\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine D, délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=3$ et $x=4$ est égale à $\left({\displaystyle \frac{41}{6}}-6\ln 2\right)$ unités d'aire. Soit arrondie au centième près 2,67 unités d'aire.

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