Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements : l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.

La première année, en 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A. On considère ensuite que 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante, tandis que 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.

Soit n un entier supérieur ou égal à 0.
On note an la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année 2010 + n.
On note bn la proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année 2010 + n.
Enfin on note Pn=anbn la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année 2010 + n.

  1. Déterminer P0.

    La première année, en 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A d'où P0=0,80,2


  2. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

    On considère que

    • 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante d'où pAnBn+1=0,3 et pAnAn+1=0,7
    • 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante d'où pBnAn+1=0,1 et pBnBn+1=0,9

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Graphe probabiliste : L'illustration flash n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Écrire la matrice de transition M asociée à cette situation.

    La matrice de transition M de ce graphe telle que an+1bn+1=anbn×M est : M=0,70,30,10,9.


  4. Déterminer la matrice P2. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A.

    P2=P0×M2SoitP2=0,80,2×0,70,30,10,92P2=0,4480,552

    La probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A est égale à 0,448.


  5. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, an+1=0,6an+0,1.

    Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, Pn+1=Pn×M an+1bn+1=anbn×0,70,30,10,9 an+1bn+1=0,7an+0,1bn0,3an+0,9bn

    Soit an+1=0,7an+0,1bn avec pour tout entier n0, an+bn=1. D'où an+1=0,7an+0,1×1-an=0,6an+0,1

    Ainsi, pour tout entier n0, an+1=0,6an+0,1.


  6. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on pose un=4an-1.
    Montrer que la suite un est géométrique de raison 0,6. Préciser son premier terme.

    Pour tout entier naturel n, un+1=4an+1-1un+1=4×0,6an+0,1-1 un+1=2,4an-0,6 un+1=0,6×4an-1 un+1=0,6un

    Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1=0,6un donc un est une suite géométrique de raison 0,6. Or u0=4a0-1Soitu0=4×0,8-1=2,2

    un est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme u0=2,2.


  7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, exprimer un en fonction de n. En déduire an en fonction de n.

    un est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme u0=2,2 alors, pour tout entier naturel n, un=2,2×0,6n

    Or pour tout entier naturel n, un=4an-14an=un+1 an=un+14

    Soit pour tout entier naturel n, an=2,2×0,6n+14=0,55×0,6n+0,25

    Donc pour tout entier naturel n, an=0,55×0,6n+0,25.


  8. Calculer la limite de la suite an puis interpréter concrètement ce résultat.

    0<0,6<1 donc lim n+ 0,6n=0 et lim n+ 0,55×0,6n+0,25=0,25

    La suite an converge vers 0,25. Sur le long terme, chaque année 25% des adhérents choisiront l'abonnement de type A.



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