sujet: amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer $P_0$.

   La première année, en 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A d'où $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$

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2. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

   On considère que

   • 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante d'où $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,7}$
   • 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante d'où $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}$

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

3. Écrire la matrice de transition M asociée à cette situation.

   La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$.

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4. Déterminer la matrice $P_2$. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A.

   $$\begin{array}{ccccc}{P}_2=P_0\times M^2& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^2\hfill & \iff & P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,448}& \mathrm{0,552}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   La probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A est égale à 0,448.

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5. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, $a_{n+1}=\mathrm{0,6}{a}_n+\mathrm{0,1}$.

   Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, $$\begin{array}{ccc}{P}_{n+1}=P_n\times M& \iff & \left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)\hfill \\ & \iff & \left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}{a}_n+\mathrm{0,1}{b}_n& \mathrm{0,3}{a}_n+\mathrm{0,9}{b}_n\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   Soit $a_{n+1}=\mathrm{0,7}{a}_n+\mathrm{0,1}{b}_n$ avec pour tout entier $n⩾0$, $a_n+b_n=1$. D'où $$a_{n+1}=\mathrm{0,7}{a}_n+\mathrm{0,1}\times \left(1-a_n\right)=\mathrm{0,6}{a}_n+\mathrm{0,1}$$

   Ainsi, pour tout entier $n⩾0$, $a_{n+1}=\mathrm{0,6}{a}_n+\mathrm{0,1}$.

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6. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on pose $u_n=4a_n-1$.
   Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison 0,6. Préciser son premier terme.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}=4a_{n+1}-1& \iff & u_{n+1}=4\times \left(\mathrm{0,6}{a}_n+\mathrm{0,1}\right)-1\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{2,4}{a}_n-\mathrm{0,6}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,6}\times \left(4a_n-1\right)\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,6}{u}_n\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,6}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,6. Or $$\begin{array}{ccc}{u}_0=4a_0-1& \text{Soit}& u_0=4\times \mathrm{0,8}-1=\mathrm{2,2}\hfill \end{array}$$

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $u_0=\mathrm{2,2}$.

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7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, exprimer $u_n$ en fonction de n. En déduire $a_n$ en fonction de n.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $u_0=\mathrm{2,2}$ alors, pour tout entier naturel n, $$u_n=\mathrm{2,2}\times {\mathrm{0,6}}^n$$

   Or pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{u}_n=4a_n-1& \iff & 4a_n=u_n+1\hfill \\ & \iff & a_n={\displaystyle \frac{u_n+1}{4}}\hfill \end{array}$$

   Soit pour tout entier naturel n, $$a_n={\displaystyle \frac{\mathrm{2,2}\times {\mathrm{0,6}}^n+1}{4}}=\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,6}}^n+\mathrm{0,25}$$

   Donc pour tout entier naturel n, $a_n=\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,6}}^n+\mathrm{0,25}$.

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8. Calculer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ puis interpréter concrètement ce résultat.

   $0<\mathrm{0,6}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,6}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,6}}^n+\mathrm{0,25}=\mathrm{0,25}$

   La suite $\left(a_n\right)$ converge vers 0,25. Sur le long terme, chaque année 25% des adhérents choisiront l'abonnement de type A.

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