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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2012 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Amérique du Nord}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Amérique du Nord 2012}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population du Nigeria, en millions d'habitants .

\medskip

{\small 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2.2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-11}
\multicolumn{1}{c|}{}& 1960 &1965 &1970 &1975 & 1980 & 1985 & 1990 & 1995 & 2000 & 2005\\ \hline
Rang $\left( x_i \right)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
Population en millions $\left( y_i \right)$ & 45,158 & 50,414 & 56,467 & 63,948 & 74,523 & 85,151 & 97,338 & 110,449 & 124,842 & 140,879\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{Source : perspective monde, université de Sherbrooke. La banque mondiale}}
\end{tabularx}
} 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Dans un premier temps, on décide de faire un ajustement affine. On note $(d)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	
	Déterminer en utilisant la calculatrice, une équation de $(d)$. On arrondira les coefficients au millième.
	\item \`A l'aide de cet ajustement, faire une estimation de la population du Nigeria en 2010. On arrondira la réponse au millier d'habitants.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}} 

\medskip

\emph{Dans cette partie, toutes les valeurs seront arrondies au millième.}

\begin{enumerate}
	\item En 2010 on a noté une population de 154,729 millions d'habitants au Nigeria. On décide alors de faire un ajustement exponentiel. 
	
	Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
	
	\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang $\left( x_i \right)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
$z_i=\ln\left( y_i \right)$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	\item En déduire une expression de la population du Nigeria $y$ en millions d'habitants en fonction du rang $x$ de l'année sous la forme $y= k \mathrm{e}^{mx}$.
	\item Utiliser cet ajustement pour estimer la population du Nigeria en 2010.
	\item D'après l'Institut National d'\'Etudes Démographiques (INED) la population du Nigeria devrait dépasser 430 millions d'habitants en 2050. 
	
	Que peut-on penser de cette estimation ? 
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Un restaurateur propose trois formules à midi :
\begin{itemize}
	\item[] Formule $A$ : Plat du jour / Dessert / Café 
	\item[] Formule $B$ : Entrée / Plat du jour / Dessert / Café
	\item[] Formule $C$ : Entrée / Plat du jour / Fromage / Dessert / Café 
\end{itemize}

\medskip

Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.

\medskip

Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.

\medskip

On sait aussi que :

\begin{itemize}
	\item Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
	\item Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
	\item Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
\end{itemize}

\medskip

Un client se présente au restaurant pour le repas de midi. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item[]  $A$ : \og le client choisit la formule $A$ \fg 
	\item[]  $B$ : \og le client choisit la formule $B$ \fg 
	\item[]  $C$ : \og le client choisit la formule $C$ \fg 
	\item[]  $V$ : \og le client commande du vin \fg 
\end{itemize}

\medskip

Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $p_A (B)$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé.

\medskip

\emph{Les probabilités demandées seront arrondies, si c'est nécessaire, au centième.}

\begin{enumerate}
	\item Calculer $p(C)$.
	\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.
	\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=.75pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,treesep=.75,npos=0.6,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{\bleu $\;A\;$}}
		{
		\TR{\bleu $\;V$}
		\TR{\bleu $\;\overline{V}$}
 		}
	\pstree{\TR{\bleu $\;B\;$}}
		{
		\TR{\bleu $\;V$}
		\TR{\bleu $\;\overline{V}$}
 		}
	\pstree{\TR{\bleu $\;C\;$}}
		{
		\TR{\bleu $\;V$}
		\TR{\bleu $\;\overline{V}$}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Montrer que $p(V)=0,45$.
\item Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$.
\item La formule $A$ coûte 8 euros, la formule $B$ coûte 12 euros et la formule $C$ coûte 15 euros. Le vin est en supplément et coûte 3 euros. On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger à midi dans ce restaurant.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la loi de probabilité de $D$.
	\item Calculer la dépense moyenne par client en euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements : l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.

\medskip

La première année, en 2010, 80\% des clients ont choisi l'abonnement de type A. On considère ensuite que 30\% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante, tandis que 10\% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.

\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 0.

On note $a_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année $2010+n$.

On note $b_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année $2010+n$.

Enfin on note $P_n= \begin{pmatrix} a_{n}  & b_{n}  \\ \end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $2010+n$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $P_0$.
	\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
	\item \'Ecrire la matrice de transition $M$ associée à cette situation.
	\item Déterminer la matrice $P_2$. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type $A$.
	\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, $a_{n+1}=0,6 a_n +0,1$.
	\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, on pose $u_n = 4 a_n -1$.
	
	Montrer que la suite $\left( u_n \right)$ est géométrique de raison 0,6. Préciser son premier terme.
	\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire  $a_n$ en fonction de $n$.
	\item Calculer la limite de la suite $\left( a_n \right)$ puis interpréter concrètement ce résultat.
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $(C)$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2;4]$.

On nomme $A$ le point de $(C)$ d'abscisse $-1$ et $B$ le point de $(C)$ d'abscisse 0.

\begin{itemize}
	\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-2;-1]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1;4]$
	\item La tangente à $(C)$ au point $A$ est horizontale.
	\item La droite $(T)$ est la tangente à $(C)$ au point $B$ et a pour équation $y=-x+2$
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)/EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-1)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{4}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt]{<->}(-1.8,2.718)(-.2,2.718) 
\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt](-2,4)(3,-1) 
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,2.718)
\uput[ul](-1,2.718){\small $A$}
\uput[ur](2.5,-.6){\small $(T)$}
\uput[ur](2.5,.4){\small $(C)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Donner la valeur de $f'(-1)$.
	\item Déterminer le signe de $f'(2)$.
	\item Interpréter graphiquement $f'(0)$, puis donner sa valeur.
\end{enumerate}
\item Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \: \mathrm {d} x}$ exprimée en unité d'aire.
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
La fonction $f$ de la Partie A a pour expression $f(x)= (x+2) \mathrm{e}^{-x}$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point $A$ de la courbe $(C)$.
	\item Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2;4]$.
	\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[-2;4]$ par $F(x)= (-x-3) \mathrm{e}^{-x}$ est une primitive de $f$.
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \: \mathrm {d} x}$.
	\item Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2 de la partie A.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
\begin{enumerate}
	\item On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe $(C)$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3 ; 2]$. La courbe $(C)$ coupe l'axe des abscisses au point $A$ d'abscisse $-2$ et au point $B$ d'abscisse 1.
	
	\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(3,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*(x-1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(3,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{2}{\f}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,0)(1,0)
\uput[ur](2,3.5){\small $(C)$}
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les trois courbes proposées ci-dessous, déterminer la seule qui représente une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-3 ; 2]$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{5.3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}m{4.5cm}|}\hline
\textbf {(a)} & \textbf {(b)} & \textbf {(c)}\\ \hline 
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3/3+x^2/2-2*x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-2)(3,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(3,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{2}{\f}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(3,7.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(43*x^4+42*x^3-161*x^2+300*x+1036)/576}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(3,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(3,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.78}{2}{\f}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(2.4,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+3)^.5-1.5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(2,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(2.3,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{2}{\f}
\end{pspicture} \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item On admet que l'équation $x \mathrm{e}^{2x-1} =2 $ n'a qu'une solution $\alpha$ dans $\R$.

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

\medskip

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Une entreprise produit des tentes. Le coût marginal, en milliers d'euros, pour la production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$ est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;20]$ par $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$.

On note $C$ la fonction qui représente le coût total exprimé en milliers d'euros pour une production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$.

On assimile le coût marginal à la dérivée de la fonction coût total, c'est à dire à la dérivée de la fonction $C$.

Sachant que les coûts fixes sont de 5~000 euros, déterminer le coût total en milliers d'euros, pour une production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$.
\end{enumerate}
       
\end{document}