sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Calculer le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009. On exprimera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l'unité.

   Le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{44,1}-\mathrm{25,5}}{\mathrm{25,5}}}\times 100\approx \mathrm{72,9}$$

   Entre 2002 et 2009, la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES a augmenté de 73%.

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2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine et on admet qu'une équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés, est $y=\mathrm{2,73}x+\mathrm{25,47}$ (les coefficients étant arrondis à 0,01 près).
   En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes :

   1. Estimer la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012.

      Le rang de l'année 2012 est 10 et : $$\mathrm{2,73}\times 10+\mathrm{25,47}=\mathrm{52,77}$$

      Selon ce modèle, au baccalauréat ES, 52,8% des bacheliers sont susceptibles d'obtenir une mention en 2012.

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   2. Estimer l'année à partir de laquelle la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES dépassera 60%.

      Le rang de l'année est le plus petit entier x tel que $$\begin{array}{ccc}\mathrm{2,73}x+\mathrm{25,47}⩾60& \iff & \mathrm{2,73}x⩾60-\mathrm{25,47}\hfill \\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{34,53}}{\mathrm{2,73}}}\hfill \end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\mathrm{34,53}}{\mathrm{2,73}}}\approx \mathrm{12,6}$ donc rang de l'année est $x=13$.

      Selon ce modèle, à partir de 2015 la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES dépassera 60%.

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3. Dans cette question, on envisage un ajustement exponentiel et on pose $z=\ln y$.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à 10^{− 3} près.

      $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7
      $z_i=\ln y_i$	3,239	3,353	3,401	3,5	3,605	3,714	3,716	3,786

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01 près.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $z=\mathrm{0,08}x+\mathrm{3,26}$ (coefficients arrondis arrondis au centième).

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   3. En déduire que $y=A\times B^x$ où A et B sont deux réels à déterminer. On arrondira à 0,01 près.

      $z=\mathrm{0,08}x+\mathrm{3,26}$ et, pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ donc $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}x+\mathrm{3,26}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{3,26}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}x}\hfill \end{array}$$

      Or ${\mathrm{e}}^{\mathrm{3,26}}\approx \mathrm{26,05}$ et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}}\approx \mathrm{1,08}$ d'où

      Une estimation de la proportion y de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat, série ES en fonction du rang x de l'année est $y=\mathrm{26,05}\times {\mathrm{1,08}}^x$.

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   4. En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes, calculer la proportion, arrondie à 0,1%, de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012.

      Le rang de l'année 2012 est 10 et : $$\mathrm{26,05}\times {\mathrm{1,08}}^{10}\approx \mathrm{56,24}$$

      Selon ce modèle, au baccalauréat ES, 56,2% des bacheliers sont susceptibles d'obtenir une mention en 2012.

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