sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état initial.

   En 2010, 40 % de la population habitait en zone A ; ainsi : $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

   On sait que, chaque année :

   • 20 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B d'où $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$
   • 5 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A d'où $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,05}$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,95}$

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

3. 1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

      La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)$.

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   2. Donner la répartition de la population en 2012.

      $$\begin{array}{ccccc}{P}_2=P_0\times M^2& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)}^2\hfill & \iff & P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3125}& \mathrm{0,6875}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      En 2012, 31,25 % de la population habitera en zone A et 68,75 % en zone B.

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4. Dans la question suivante, on considère la matrice ligne $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ où a et b sont deux nombres réels tels que $a+b=1$.

   1. Déterminer a et b pour que $P=PM$.

      Nous avons $P=PM$ et $a+b=1$ alors $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)\end{array}$ avec $a+b=1$. D'où a et b sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}a& =& \mathrm{0,8}a+\mathrm{0,05}b\\ b& =& \mathrm{0,2}a+\mathrm{0,95}b\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,05}b& =& 0\\ -\mathrm{0,2}a+\mathrm{0,05}b& =& 0\\ a+b& =& 1\end{array}\end{array}$$

      Soit a et b solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,05}b& =& 0\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,25}a& =& \mathrm{0,05}\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& \mathrm{0,2}\\ b& =& \mathrm{0,8}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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   2. Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75 % de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison ?

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$. Sur le long terme, 80 % de la population habitera en zone B.

      Le maire a raison de prévoir de nouvelles infrastructures.

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      remarque

      Pour information, $$\begin{array}{ccccc}{P}_2=P_0\times M^5& \text{Soit}& P_5=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)}^5\hfill & \text{Soit}& P_5\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,247}& \mathrm{0,753}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$ À partir de 2015, plus de 75 % de la population habitera en zone B.

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