Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10^− 2 près.
Cet exercice consiste à étudier la propagation d'une information d'une personne à l'autre, thème souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-à-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire.
Dans cet exercice, on considère l'information suivante, notée E : « Paul a réussi son examen ».

partie a : propagation symétrique ( de type « neutre »)

Dans cette partie, on suppose que, pour une information reçue (E ou $\bar{E}$ ), la probabilité de communiquer cette information à l'identique vaut 0,9 et la probabilité de relayer l'information contraire vaut 0,1.
On note $p_{n}$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de n étapes (n étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_{n}$ la probabilité de recevoir l'information $\bar{E}$ au bout de n étapes.
On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_{0} = 1$ et $q_{0} = 0$ .

Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif à la propagation de l'information suivant :
Préciser la matrice de transition M telle que $(\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) M$
La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ .
À l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel n tel que $p_{n} < 0,8$ .
Nous avons : $\begin{matrix} P_{1} = P_{0} \times M & Soit & P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & P_{1} = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \end{matrix}) \\ P_{2} = P_{0} \times M^{2} & Soit & P_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})}^{2} & \Leftrightarrow & P_{2} = (\begin{matrix} 0,82 & 0,18 \end{matrix}) \\ P_{3} = P_{0} \times M^{3} & Soit & P_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})}^{3} & \Leftrightarrow & P_{3} = (\begin{matrix} 0,756 & 0,244 \end{matrix}) \end{matrix}$
Le plus petit entier n tel que $p_{n} < 0,8$ est 3.
Déterminer par le calcul, l'état stable.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} p & q \end{matrix})$ avec $p + q = 1$ indépendant de l'état initial.
Nous avons $P = P M$ et $p + q = 1$ alors $\begin{matrix} (\begin{matrix} p & q \end{matrix}) = (\begin{matrix} p & q \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0,9 & 0,1 \\ 0,1 & 0,9 \end{array}) \end{matrix}$ avec $p + q = 1$ . D'où p et q sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} p & = & 0,9 p + 0,1 q \\ q & = & 0,1 p + 0,9 q \\ p + q & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,1 p - 0,1 q & = & 0 \\ - 0,1 p + 0,1 q & = & 0 \\ p + q & = & 1 \end{array} \end{matrix}$
Soit p et q solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} p - q & = & 0 \\ p + q & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 2 p & = & 1 \\ p + q & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} p & = & 0,5 \\ q & = & 0,5 \end{array} \end{matrix}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix})$ .

partie b : propagation asymétrique ( de type « rumeur »)

Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale à 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur $\bar{E}$ . Dans ces conditions, on suppose que si l'information reçue est $\bar{E}$ , la probabilité de transmettre cette information $\bar{E}$ est égale à 1.
On suppose de nouveau que $p_{0} = 1$ et $q_{0} = 0$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
Préciser la matrice de transition N telle que $(\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) N$ .
La matrice de transition N de ce graphe telle que $(\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) N$ est : $N = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .
Montrer que $p_{n + 1} = 0,9 p_{n}$ . Quelle est la nature de la suite $(p_{n})$ ?
$\begin{matrix} (\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) N & D'où & (\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 p_{n} & 0,1 p_{n} + q_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $p_{n + 1} = 0,9 p_{n}$ donc $(p_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9.
Exprimer $p_{n}$ en fonction de n.
$(p_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $p_{0} = 1$ alors pour tout entier naturel n, $p_{n} = {0,9}^{n}$ .
Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel n tel que $p_{n} < 0,5$ .
$\begin{matrix} p_{n} < 0,5 & \Leftrightarrow & {0,9}^{n} < 0,5 \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,9) < \ln (0,5) \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln (0,5)}{\ln (0,9)} & \ln (0,9) < 0 \end{matrix}$ Or $\frac{\ln (0,5)}{\ln (0,9)} \approx 6,6$ donc le plus petit entier n tel que $p_{n} < 0,5$ est 7.
Déterminer la limite de $(p_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ puis interpréter le résultat obtenu.
$0 < 0,9 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,9}^{n} = 0$ .
La suite $(p_{n})$ converge vers 0. Sur le long terme, seule la fausse rumeur $\bar{E}$ sera transmise.

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