sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2012

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau pour se rendre en Angleterre.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\right)+p\left(T\right)+p\left(B\right)=1& \iff & p\left(B\right)=1-p\left(A\right)-p\left(T\right)\hfill \\ & \text{Soit}& p\left(B\right)=1-\mathrm{0,3}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,2}\hfill \end{array}$$

   La probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau pour se rendre en Angleterre est égale à 0,2.

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2. 1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $A\cap S$ .

      $A\cap S$ est l'évènement « Le touriste interrogé a voyagé en avion et est resté en Angleterre plus d'une semaine »  

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   2. Déterminer les probabilités $p\left(A\cap S\right)$ et $p\left(T\cap S\right)$. (On pourra utiliser un arbre pondéré).

      $$\begin{array}{ccccccc}p\left(A\cap S\right)& =& p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)\hfill & \text{et}& p\left(T\cap S\right)& =& p_T\left(S\right)\times p\left(T\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,3}\hfill & & & =& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,5}\hfill \\ & =& \mathrm{0,06}\hfill & & & =& \mathrm{0,3}\hfill \end{array}$$

      $p\left(A\cap S\right)=\mathrm{0,06}$ et $p\left(T\cap S\right)=\mathrm{0,3}$.

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3. Montrer que $p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,04}$.

   Les évènements A, T et B déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(S\right)=p\left(A\cap S\right)+p\left(T\cap S\right)+p\left(B\cap S\right)& \iff & p\left(B\cap S\right)=p\left(S\right)-p\left(A\cap S\right)-p\left(T\cap S\right)\end{array}$$

   Or sur l'ensemble de tous les touristes interrogés, 40 % sont restés en Angleterre plus d'une semaine. D'où $$p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,06}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,04}$$

   Ainsi,$p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,04}$.

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4. Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau sachant qu'il est resté plus d'une semaine en Angleterre.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{Soit}& p_S\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,1}\end{array}$$

   La probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau sachant qu'il est resté plus d'une semaine en Angleterre est égale à 0,1.

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5. On interroge au hasard 3 touristes ayant répondu à l'enquête de façon indépendante. On suppose que le nombre de personnes ayant répondu à l'enquête est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard à un tirage avec remise.
   Déterminer la probabilité que parmi ces trois touristes se trouve un seul touriste étant resté en Angleterre plus d'une semaine.

   Soit X la variable aléatoire égale au nombre de touristes qui sont restés plus d'une semaine en Angleterre. La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,4. La probabilité qu'un seul des trois touristes soit resté en Angleterre plus d'une semaine est : $$p\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\times \mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,6}}^2=\mathrm{0,432}$$

   La probabilité que parmi les trois touristes un seul soit resté en Angleterre plus d'une semaine est égale à 0,432.

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