Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l'intervalle [1;6].
Le coût total de production CT, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite x : CT(x)=x22+4lnx+5,6pour  x[1;6]

  1. Vérifier que la fonction CT est strictement croissante sur l'intervalle [1;6].

    Sur l'intervalle [1;6], la fonction C1 définie par C1(x)=x22+5,6 et la fonction C2 définie par C2(x)=4lnx sont strictement croissantes.

    La fonction CT est strictement croissante sur l'intervalle [1;6] comme somme de deux fonctions strictement croissantes.


  2. On note CM(x) le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec x[1;6]. On rappelle que CM(x)=CT(x)x.

    1. Écrire l'expression de CM(x) en fonction de x.

      CM est la fonction définie sur l'intervalle [1;6] par CM(x)=x2+8lnx+11,22x.


    2. On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle [1;6] et on appelle CM sa fonction dérivée.
      Calculer CM(x) et vérifier que CM(x)=x2-3,2-8lnx2x2 pour tout x de l'intervalle [1;6].

      La fonction CM est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables et CM=uv-uvv2 avec pour tout réel x de l'intervalle [1;6] :{u(x)=x2+8lnx+11,2;u(x)=2x+8xv(x)=2x;v(x)=2

      D'où :CM(x)=(2x+8x)×2x-2×(x2+8lnx+11,2)(2x)2=4x2+16-2x2-16lnx-22,44x2=2x2-16lnx-6,44x2=x2-8lnx-3,22x2

      Ainsi, CM est la fonction définie sur l'intervalle [1;6] par CM(x)=x2-8lnx-3,22x2.


  3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1;6] par f(x)=x2-3,2-8lnx.

    1. On admet que f est dérivable sur [1;6]. Étudier les variations de f sur [1;6].

      Pour tout réel x de l'intervalle [1;6] : f(x)=2x-8x=2x2-8x=2(x2-4)x=2(x-2)(x+2)x

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x1 2 6
      f(x) 0||+ 
      f(x)

      -2,2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0,2-8ln2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      32,8-8ln6


    2. Démontrer que l'équation f(x)=0 possède une solution unique α dans [2;6] ; déterminer une valeur approchée par excès à 10− 1 près de α.

      L'équation f(x)=0 admet une unique solution α avec α3,7 (valeur approchée au dixième près obtenue à la calculatrice).


    3. En déduire le signe de f(x) sur [1;6] (on ne demande pas de justification).

      D'après le tableau des variations de la fonction f, le tableau donnant le signe de f(x) sur [1;6] est :

      x1 α3,7 6
      f(x) 0||+ 
  4. On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b.

    1. En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction CM sur [1;6]. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).

      Les variations de la fonction CM se déduisent du signe de sa dérivée définie par CM(x)=x2-3,2-8lnx2x2 pour tout x de l'intervalle [1;6]. Or sur cet intervalle, CM(x) est du même signe que f(x).

      x1 α3,7 6
      CM(x) 0||+ 
      CM(x)

      6,1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      4,8

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      5,1


    2. Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?

      Le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit est de 4 800 euros.


  5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?

    D'après le tableau de variation, le coût moyen maximum est obtenu avec une production d'un mètre cube.

    Pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production, le prix de vente minimal du mètre cube de produit est de 6  100 euros.



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