Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l'intervalle 16.
Le coût total de production CT, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite x : CTx=x22+4lnx+5,6pour  x16

  1. Vérifier que la fonction CT est strictement croissante sur l'intervalle 16.

    Sur l'intervalle 16, la fonction C1 définie par C1x=x22+5,6 et la fonction C2 définie par C2x=4lnx sont strictement croissantes.

    La fonction CT est strictement croissante sur l'intervalle 16 comme somme de deux fonctions strictement croissantes.


  2. On note CMx le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec x16. On rappelle que CMx=CTxx.

    1. Écrire l'expression de CMx en fonction de x.

      CM est la fonction définie sur l'intervalle 16 par CMx=x2+8lnx+11,22x.


    2. On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle 16 et on appelle CM sa fonction dérivée.
      Calculer CMx et vérifier que CMx=x2-3,2-8lnx2x2 pour tout x de l'intervalle 16.

      La fonction CM est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables et CM=uv-uvv2 avec pour tout réel x de l'intervalle 16 :{ux=x2+8lnx+11,2;ux=2x+8xvx=2x;vx=2

      D'où :CMx=2x+8x×2x-2×x2+8lnx+11,22x2=4x2+16-2x2-16lnx-22,44x2=2x2-16lnx-6,44x2=x2-8lnx-3,22x2

      Ainsi, CM est la fonction définie sur l'intervalle 16 par CMx=x2-8lnx-3,22x2.


  3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle 16 par fx=x2-3,2-8lnx.

    1. On admet que f est dérivable sur 16. Étudier les variations de f sur 16.

      Pour tout réel x de l'intervalle 16 : fx=2x-8x=2x2-8x=2x2-4x=2x-2x+2x

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x1 2 6
      fx 0||+ 
      fx

      -2,2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0,2-8ln2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      32,8-8ln6


    2. Démontrer que l'équation fx=0 possède une solution unique α dans 26 ; déterminer une valeur approchée par excès à 10− 1 près de α.

      L'équation fx=0 admet une unique solution α avec α3,7 (valeur approchée au dixième près obtenue à la calculatrice).


    3. En déduire le signe de fx sur 16 (on ne demande pas de justification).

      D'après le tableau des variations de la fonction f, le tableau donnant le signe de fx sur 16 est :

      x1 α3,7 6
      fx 0||+ 
  4. On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b.

    1. En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction CM sur 16. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).

      Les variations de la fonction CM se déduisent du signe de sa dérivée définie par CMx=x2-3,2-8lnx2x2 pour tout x de l'intervalle 16. Or sur cet intervalle, CMx est du même signe que fx.

      x1 α3,7 6
      CMx 0||+ 
      CMx

      6,1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      4,8

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      5,1


    2. Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?

      Le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit est de 4 800 euros.


  5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?

    D'après le tableau de variation, le coût moyen maximum est obtenu avec une production d'un mètre cube.

    Pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production, le prix de vente minimal du mètre cube de produit est de 6  100 euros.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.