Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l'intervalle .
Le coût total de production , exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite x :
Vérifier que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , la fonction définie par et la fonction définie par sont strictement croissantes.
La fonction est strictement croissante sur l'intervalle comme somme de deux fonctions strictement croissantes.
On note le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec . On rappelle que .
Écrire l'expression de en fonction de x.
est la fonction définie sur l'intervalle par .
On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle et on appelle sa fonction dérivée.
Calculer et vérifier que pour tout x de l'intervalle .
La fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables et avec pour tout réel x de l'intervalle :
D'où :
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Soit f la fonction définie sur l'intervalle par .
On admet que f est dérivable sur . Étudier les variations de f sur .
Pour tout réel x de l'intervalle :
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 1 | 2 | 6 | ||
− | + | ||||
Démontrer que l'équation possède une solution unique α dans ; déterminer une valeur approchée par excès à 10− 1 près de α.
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement décroissante donc pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle , .
Par conséquent, l'équation n'a pas de solution sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . : l'équation admet une unique solution α avec .
L'équation admet une unique solution α avec (valeur approchée au dixième près obtenue à la calculatrice).
En déduire le signe de sur (on ne demande pas de justification).
D'après le tableau des variations de la fonction f, le tableau donnant le signe de sur est :
x | 1 | 6 | |||
− | + |
On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b.
En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction sur . Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).
Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée définie par pour tout x de l'intervalle . Or sur cet intervalle, est du même signe que .
x | 1 | 6 | |||
− | + | ||||
6,1 | 4,8 | 5,1 |
Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?
Le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit est de 4 800 euros.
Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?
D'après le tableau de variation, le coût moyen maximum est obtenu avec une production d'un mètre cube.
Pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production, le prix de vente minimal du mètre cube de produit est de 6 100 euros.
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