Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Énoncé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l'intervalle 16.
Le coût total de production CT, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite x : CTx=x22+4lnx+5,6pour  x16

  1. Vérifier que la fonction CT est strictement croissante sur l'intervalle 16.

  2. On note CMx le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec x16.
    On rappelle que CMx=CTxx.

    1. Écrire l'expression de CMx en fonction de x.

    2. On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle 16 et on appelle CM sa fonction dérivée.
      Calculer CMx et vérifier que CMx=x2-3,2-8lnx2x2 pour tout x de l'intervalle 16.

  3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle 16 par fx=x2-3,2-8lnx.

    1. On admet que f est dérivable sur 16. Étudier les variations de f sur 16.

    2. Démontrer que l'équation fx=0 possède une solution unique α dans 26 ; déterminer une valeur approchée par excès à 10− 1 près de α.

    3. En déduire le signe de fx sur 16 (on ne demande pas de justification).

  4. On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b.

    1. En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction CM sur 16. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).

    2. Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?

  5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?


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