sujet : Polynésie

Énoncé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l'intervalle $\left[1;6\right]$.
Le coût total de production $C_T$, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite x : $$\begin{array}{cc}{C}_T\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4\ln x+\mathrm{5,6}& \text{pour }x\in \left[1;6\right]\end{array}$$

1. Vérifier que la fonction $C_T$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[1;6\right]$.

2. On note $C_M\left(x\right)$ le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec $x\in \left[1;6\right]$.
   On rappelle que $C_M\left(x\right)={\displaystyle \frac{C_T\left(x\right)}{x}}$.

   1. Écrire l'expression de $C_M\left(x\right)$ en fonction de x.

   2. On admet que la fonction $C_M$ est dérivable sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ et on appelle $C_M\prime$ sa fonction dérivée.
      Calculer $C_M^{}\prime \left(x\right)$ et vérifier que $C_M^{}\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-\mathrm{3,2}-8\ln x}{2x^2}}$ pour tout x de l'intervalle $\left[1;6\right]$.

3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ par $f\left(x\right)=x^2-\mathrm{3,2}-8\ln x$.

   1. On admet que f est dérivable sur $\left[1;6\right]$. Étudier les variations de f sur $\left[1;6\right]$.

   2. Démontrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une solution unique α dans $\left[2;6\right]$ ; déterminer une valeur approchée par excès à 10^{− 1} près de α.

   3. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur $\left[1;6\right]$ (on ne demande pas de justification).

4. On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b.

   1. En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction $C_M$ sur $\left[1;6\right]$. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).

   2. Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?

5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?

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