sujet : Amérique du sud novembre 2013

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On considère f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}+1$.
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et $f\prime$ la fonction dérivée de f.

1. 1. Montrer que, pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\left(1-x\right)$.

      Pour tout réel x, posons $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=x\hfill & \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\hfill & \text{et}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f=u\times v+1$ d'où $f\prime =u\prime \times v+u\times v\prime +0$. Soit pour tout réel x, $$f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}={\mathrm{e}}^{-x}\times \left(1-x\right)$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\left(1-x\right)$.

      ---

   2. En déduire le sens de variation de f sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ d'où $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-x$. Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x	− ∞		1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			${\mathrm{e}}^{-1}+1$

      ---

2. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$.

      $f\left(-1\right)=-\mathrm{e}+1<0$ et $f\left(0\right)=1$.

      Sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(-1\right)<0<f\left(0\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[-1;0\right]$.

      ---

   2. Donner un encadrement de α à 10^-1 près.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $-\mathrm{0,6}<\alpha <-\mathrm{0,5}$.

      ---

3. Montrer que l'équation réduite de la tangente T à $C_f$ au point d'abscisse 0 est $y=x+1$.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=1$ et $f\prime \left(0\right)=1$ d'où :

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x+1$.

   ---

4. L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de $C_f$ par rapport à T.

   À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l'expression et le signe de $f″\left(x\right)$ où $f″$ désigne la dérivée seconde de f.

   	Instruction	Réponse
   1	$f\left(x\right)=x*\exp \left(-x\right)+1$	$x{\mathrm{e}}^{-x}+1$
   2	$f″\left(x\right)=$ dérivée seconde $\left[f\left(x\right)\right]$	${\mathrm{e}}^{-x}\left(x-2\right)$
   3	résoudre $\left[{\mathrm{e}}^{-x}\left(x-2\right)⩾0\right]$	$x⩾2$

   1. Déterminer le sens de variation de la dérivée $f\prime$ de la fonction f sur $ℝ$.

      Les variations de la dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f″$. D'où le tableau de variation de la fonction la dérivée $f\prime$ :

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\prime \left(x\right)$

      ---

   2. Déterminer l'intervalle de $ℝ$ sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de $f″\left(x\right)$

      La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$ et concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$.

      ---

   3. En déduire la position relative de $C_f$ par rapport à T sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$.

      Dire que la fonction f est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$ signifie que sa courbe représentative $C_f$ est située entièrement en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$.

      Sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$, la courbe $C_f$ est située entièrement en dessous de sa tangente T.

      ---

5. On a tracé ci-dessous la courbe $C_f$ et la tangente T dans un repère orthonormé.

   1. On considère la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\left(-1-x\right)+x$. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^{-x}\times \left(-1-x\right)+{\mathrm{e}}^{-x}\times \left(-1\right)+1\hfill \\ & =& x{\mathrm{e}}^{-x}+1\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

      ---

   2. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe $C_f$, la tangente T et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ puis donner le résultat arrondi à 10^-3 près.

      Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la courbe $C_f$ est située entièrement en dessous de sa tangente T d'où l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, la tangente T et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ est : $${\displaystyle {\int }_0^1\left(x+1\right)-f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      Or une primitive de la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=\left(x+1\right)-f\left(x\right)$ est la fonction G définie sur $ℝ$ par $$\begin{array}{ccc}G\left(x\right)& =& \left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x\right)-F\left(x\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x-{\mathrm{e}}^{-x}\left(-1-x\right)-x\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\mathrm{e}}^{-x}\left(1+x\right)\hfill \end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^1\left(x+1\right)-f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\mathrm{e}}^{-x}\left(1+x\right)\right]}_0^1}\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{2}}+2{\mathrm{e}}^{-1}\right)-1\hfill \\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine compris entre la courbe $C_f$, la tangente T et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ est égale à $\left({\mathrm{e}}^{-1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ unités d'aire. Soit arrondie au millième près, 0,236 unités d'aire.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.