Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

La courbe C d'une fonction f définie et dérivable sur est donnée ci-dessous.
La courbe C passe par les points A(-1;e) et B(0;2)e=exp(1).
La tangente à la courbe C au point A est horizontale et la tangente à la courbe C au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées (2;0).

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. L'équation f(x)=1 admet exactement trois solutions dans l'intervalle [-2;3].

    La droite d'équation y=1 coupe la courbe C en deux points donc l'équation f(x)=1 admet exactement deux solutions.

    L'affirmation 1 est fausse.


  2. La fonction f est convexe sur l'intervalle [1;3].

    La tangente en un point d'abscisse positive de la courbe C semble être au dessous de la courbe. Donc la fonction f est convexe sur [0;+[.

    L'affirmation 2 est vraie.


  3. f(-1)=0.

    La tangente à la courbe C au point A(-1;e) est horizontale donc f(-1)=0.

    L'affirmation 3 est vraie.


  4. f(0)=-1.

    Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la droite (BD) tangente à la courbe C au point B d'où f(0)=2-00-2=-1

    L'affirmation 4 est vraie.


  5. f(x)0 sur l'intervalle [1;3].

    La fonction f est décroissante sur [-1;+[ donc f(x)0 sur l'intervalle [-1;+[.

    L'affirmation 5 est fausse.


  6. Une primitive F de la fonction f est croissante sur l'intervalle [1;3].

    Dire que F est une primitive de la fonction f sur signifie que pour tout réel x, F(x)=f(x). Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f :

    x- -2 +
    f(x) 0||+ 
    F(x)  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    L'affirmation 6 est vraie.


partie b

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. L'ensemble des solutions de l'inéquation : 0,2lnx-10 est l'intervalle [e;+[.

    Pour tout réel x strictement positif, 0,2lnx-100,2lnx1lnx5xe5

    Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation : 0,2lnx-10 est l'intervalle ]0;e5[.


  2. On considère la fonction g définie sur ]0;+[ par : g(x)=x2-2lnx.
    La fonction g est convexe sur l'intervalle ]0;+[.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, g(x)=2x-2xetg(x)=2+2x2

    Or pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, g(x)>0 donc

    La fonction g est convexe sur l'intervalle ]0;+[.



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