Les parties A et B sont indépendantes.
La courbe C d'une fonction f définie et dérivable sur est donnée ci-dessous.
La courbe C passe par les points et où .
La tangente à la courbe C au point A est horizontale et la tangente à la courbe C au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées .
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
L'équation admet exactement trois solutions dans l'intervalle .
La droite d'équation coupe la courbe C en deux points donc l'équation admet exactement deux solutions.
L'affirmation 1 est fausse.
La fonction f est convexe sur l'intervalle .
La tangente en un point d'abscisse positive de la courbe C semble être au dessous de la courbe. Donc la fonction f est convexe sur .
L'affirmation 2 est vraie.
.
La tangente à la courbe C au point est horizontale donc .
L'affirmation 3 est vraie.
.
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la droite (BD) tangente à la courbe C au point B d'où
L'affirmation 4 est vraie.
sur l'intervalle .
La fonction f est décroissante sur donc sur l'intervalle .
L'affirmation 5 est fausse.
Une primitive F de la fonction f est croissante sur l'intervalle .
Dire que F est une primitive de la fonction f sur signifie que pour tout réel x, . Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f :
x | |||||
− | + | ||||
L'affirmation 6 est vraie.
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
L'ensemble des solutions de l'inéquation : est l'intervalle .
Pour tout réel x strictement positif,
Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation : est l'intervalle .
On considère la fonction g définie sur par : .
La fonction g est convexe sur l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
Or pour tout réel x de l'intervalle , donc
La fonction g est convexe sur l'intervalle .
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