Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

10% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
20 nouvelles personnes s'inscrivaient au club.

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

partie a

On donne l'algorithme suivant :

Entrée	Saisir n entier positif
Traitement :	X prend la valeur 80 {initialisation}
	Pour i allant de 1 à n Affecter à X la valeur $0,9 X + 20$ Fin Pour X prend la valeur de X arrondie à l'entier inférieur
Sortie	Afficher X

Pour la valeur $n = 2$ saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?
Boucle Pour Valeur de i 1 2
X prend la valeur $0,9 \times 80 + 20 = 92$ $0,9 \times 92 + 20 = 102,8$
X prend la valeur de X arrondie à l'entier inférieur : 102
Pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme est 102.
Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.
En 2007, le club de randonnée pédestre comportait au moins 102 adhérents.

partie b

On considère la suite $(a_{n})$ définie par $a_{0} = 80$ et, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 20$ . Pour tout entier naturel n, on pose : $b_{n} = a_{n} - 200$ .
1. Démontrer que $(b_{n})$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} b_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 200 \\ = & 0,9 a_{n} + 20 - 200 \\ = & 0,9 a_{n} - 180 \\ = & 0,9 \times (a_{n} - 200) \\ = & 0,9 b_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $b_{n + 1} = 0,9 b_{n}$ donc $(b_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9. D'autre part, $\begin{matrix} b_{0} = a_{0} - 200 & soit & b_{0} = 80 - 200 = - 120 \end{matrix}$
  Ainsi, $(b_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $b_{0} = - 120$ .
2. Exprimer $b_{n}$ en fonction de n.
  $(b_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $b_{0} = - 120$ d'où pour tout entier n, on a : $b_{n} = - 120 \times {0,9}^{n}$ .
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n} = 200 - 120 \times {0,9}^{n}$ .
Pour tout entier n, $b_{n} = a_{n} - 200$ d'où $a_{n} = b_{n} + 200$ .
Donc pour tout entier naturel n, on a : $a_{n} = 200 - 120 \times {0,9}^{n}$ .
Quelle est la limite de la suite $(a_{n})$ ?
$0 < 0,9 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,9}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 200 - 120 \times {0,9}^{n} = 200$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 200$ .
La suite $(a_{n})$ converge vers 200.

partie c

L'objectif du président du club est d'atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ?
Dire la suite $(a_{n})$ converge vers 200 signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite seront proches de 200.
L'objectif du président du club d'atteindre au moins 180 adhérents est réalisable.
Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins 300 adhérents.
Connaître la limite de la suite $(a_{n})$ ne suffit pas pour répondre à cette question.
- méthode 1
  Étudions la monotonie de la suite $(a_{n})$
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} a_{n + 1} - a_{n} & = & (200 - 120 \times {0,9}^{n + 1}) - (200 - 120 \times {0,9}^{n}) \\ = & - 120 \times {0,9}^{n + 1} + 120 \times {0,9}^{n} \\ = & 120 \times {0,9}^{n} \times (- 0,9 + 1) \\ = & 12 \times {0,9}^{n} \end{array}$
  Or pour tout entier n, ${0,9}^{n} > 0$ , d'où $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ .
  Pour tout entier n, $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ donc la suite $(a_{n})$ est strictement croissante.
  La suite $(a_{n})$ est strictement croissante et $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 200$ donc pour tout entier n, $a_{n} ⩽ 200$ .
  L'objectif du président du club d'atteindre au moins 300 adhérents n'est pas réalisable.
- méthode 2
  Cherchons les solutions éventuelles de l'inéquation $a_{n} ⩾ 300$
  $\begin{matrix} 200 - 120 \times {0,9}^{n} ⩾ 300 & \Leftrightarrow & - 120 \times {0,9}^{n} ⩾ 100 \\ \Leftrightarrow & {0,9}^{n} ⩽ - \frac{5}{6} \end{matrix}$
  Or pour tout réel x, ${0,9}^{x} > 0$ par conséquent, l'inéquation $a_{n} ⩾ 300$ n'a pas de solution.
  L'objectif du président du club d'atteindre au moins 300 adhérents n'est pas réalisable.

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indifférent :

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Boucle Pour	Valeur de i	1	2
Boucle Pour	X prend la valeur	$0,9 \times 80 + 20 = 92$	$0,9 \times 92 + 20 = 102,8$
X prend la valeur de X arrondie à l'entier inférieur : 102