\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
%\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
%\usepackage{picins}
%\usepackage{hyperxmp}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{slashbox}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
%\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-func,pst-tree,pst-3dplot}
%\usepackage{ifthen}
%\usepackage{calc}
%\usepackage{esvect}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath}} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
%\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
%\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2013 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Antilles Guyane}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Antilles Guyane 2013\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{- 2}$ près.}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip
 
Deux roues sont disposées sur le stand d'un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques. 

\begin{itemize}
\item[] La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.
\item[] La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes. 
\end{itemize}

Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu'elle s'arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
 
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner \textbf{la première roue} et, lorsqu'elle s'arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.


\begin{itemize}
\item Si c'est le rouge, le joueur a perdu et la partie s'arrête. 
\item Si c'est le bleu, la partie continue; le joueur fait tourner \textbf{la deuxième roue} : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur noir, le joueur a perdu. 
\item Si c'est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner \textbf{la deuxième roue} : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
\end{itemize}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip
 
Le joueur fait une partie.
 
On note les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[] $R$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur rouge \fg{} ; 
\item[] $B$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur bleue \fg{} ; 
\item[] $V$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur verte \fg{} ; 
\item[] $N$ : \og Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire \fg{} ; 
\item[] $J$ : \og Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune \fg{} ; 
\item[] $G$ : \og Le joueur gagne un lot \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité $P(B \cap J)$ de l'évènement $B \cap J$. 
\item Démontrer que la probabilité $P(G)$ que le joueur gagne un lot est égale à $0,23$.
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip
 
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à $0,23$.
 
Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties.

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.
 
On note $X$ le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart-type $\sigma = 5$. Déterminer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item la probabilité : $P( 40 < X < 50)$ ; 
\item la probabilité qu'au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip

 \emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip
 
La courbe $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est donnée ci-dessous.

La courbe $C$ passe par les points $A(-1 ; \e)$ et $B(0 ; 2)$ où $\e= \exp(1)$.
 
La tangente à la courbe $C$ au point $A$ est horizontale et la tangente à la courbe $C$ au point $B$ est la droite $(BD)$, où $D$ a pour coordonnées $(2 ; 0)$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.1)(3.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)}
\psaxes[linewidth=.75pt,xsubticks=5,ysubticks=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,4)
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.3}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.8,2.71828)(-0.2,2.71828)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(-2,4)(3.5,-1.5)
\uput[u](-1,2.71828){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[ur](0,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[u](2,0){\footnotesize{\prune{$D$}}}

\end{pspicture}
\end{center}

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte 0,5 point ;  une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 1$ admet exactement trois solutions dans l'intervalle $[-2 ; 3]$. 
\item La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[1 ; 3]$. 
\item $f'(- 1) = 0$. 
\item $f'(0) = - 1$. 
\item $f'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $[1 ; 3]$. 
\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1 ; 3]$. 
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip 

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, \textbf{en justifiant}, si elle est vraie ou fausse.

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation : $0,2\ln x -1 \leqslant 0$ est l'intervalle $[\e ;  + \infty[$. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : $g(x) = x^2 - 2\ln x$.
 
La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée. 

\medskip

Cette étude montre que lors de la sortie d'une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu'une cliente l'achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2. 

De plus, lorsqu'une cliente a acheté une crème hydratante lors d'une vente promotionnelle, la probabilité qu'elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu'une cliente n'a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu'elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.
 
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :

\medskip

\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'une cliente achète une crème hydratante lors de la $n$-ième vente promotionnelle. 
\item $b_{n}$ la probabilité qu'une cliente n'achète pas une crème hydratante lors de la $n$-ième vente promotionnelle. 
\item $P_{n} = \begin{pmatrix} a_{n} &  b_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste à la $n$-ième vente promotionnelle.
\end{itemize}


\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P_{1}$. 
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :
\begin{itemize}
\item[] $V$ quand il y a achat ;
\item[] $\overline{V}$ quand il n'y a pas achat.
\end{itemize}
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe. 
		\item Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$. D'après ces résultats, quel est l'effet de ces trois premières ventes promotionnelles ?
	\end{enumerate} 
\item Justifier qu'il existe un état stable $P = \begin{pmatrix} a &  b  \end{pmatrix}$ pour cette situation. Le déterminer. 
\item L'étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,labelsep=2pt}
\pnode(2.5,5.5){A} \pnode(7,6){B} \pnode(7.5,3.2){C} \pnode(9,3){D} 
\pnode(5,0){E} \pnode(1.5,0){F} \pnode(5.5,4){G} \pnode(0,3){H} 
\ncline{B}{D}\ncline{D}{E}\ncline{E}{C}\ncline{C}{G}\ncline{G}{B}\ncline{B}{A}\ncline{A}{G}\ncline{G}{E}\ncline{E}{H}
\ncline{H}{F}\ncline{F}{E}\ncline{E}{A}\ncline{A}{F}\ncline{F}{G}\ncline{G}{H}\ncline{H}{A}
\nput{90}{A}{\bleu \sf A}\nput{60}{B}{\bleu \sf B} \nput{0}{C}{\bleu \sf C} \nput{0}{D}{\bleu \sf D}
\nput{-90}{E}{\bleu \sf E} \nput{-90}{F}{\bleu \sf F} \nput{110}{G}{\bleu \sf G}  \nput{180}{H}{\bleu \sf H} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

L'entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d'achat. 

Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme et proposer une répartition des produits. 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait $80$~adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :


\begin{itemize}
\item 10\,\% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
\item $20$ nouvelles personnes s'inscrivaient au club.
\end{itemize}

 
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip
On donne l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} 
Entrée :	& Saisir $n$ entier positif\\ \cline{2-2} 
Traitement :&$X$ prend la valeur $80$ \{Initialisation\}\\  
			&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
			&\hspace{1cm}Affecter à $X$ la valeur $0,9X + 20$\\  
			&Fin Pour\\  
			&$X$ prend la valeur de $X$ arrondie à l'entier inférieur\\ \cline{2-2} 
Sortie:		&Afficher $X$\\ \cline{2-2}  
\end{tabular}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Pour la valeur $n = 2$ saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? 
\item Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{0} = 80$ et, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 0,9a_{n} + 20$. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $b_{n} = a_{n} - 200$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n} = 200 - 120  \times 0,9^n$. 
\item Quelle est la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
 
\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'objectif du président du club est d'atteindre au moins $180$ adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? 
\item Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins $300$ adhérents. 
\end{enumerate} 


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0 ; 10]$ par 

\[B(x) = x + 4\e^{-x} - 5,\]

où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $B'(x)$, où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. 
		\item Démontrer que $B'(x)$ s'annule uniquement pour $x = \ln (4)$. 
		\item Calculer les valeurs exactes de $B(0) ; B(10)$ et $B(\ln(4))$. 
		\item Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0 ; 10]$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $B(x) = 0$ possède une solution unique 
		$\alpha$ sur $[\ln(4) ; 10]$. 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}		 
\item À partir de combien d'unités produites et vendues l'entreprise sera-t-elle bénéficiaire? 
\end{enumerate}
       
\end{document}