La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
Elle passe par les points , et . Le point appartient à la tangente à au point A.
On note la fonction dérivée de f sur .
Quel est le signe de ? Justifier.
est égal au coefficient directeur de la la tangente à au point A donc .
Que semble représenter le point A pour la courbe ?
La courbe traverse sa tangente en A donc la courbe admet le point A d'abscisse 1 comme point d'inflexion.
Préciser un domaine du plan dont l'aire est égale à unités d'aires.
Sur l'intervalle , la courbe est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
L'aire du domaine situé entre la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation est comprise entre l'aire de deux trapèzes d'aires :
Le seul encadrement qui convient est .
On admet que pour tout réel x, et . On note la fonction dérivée seconde de f sur .
Vérifier que, pour tout réel x, .
est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur par .
Résoudre l'équation . Montrer que le point A est un point d'inflexion de la courbe .
Comme pour tout réel x, , est du même signe que . D'où le tableau du signe de la dérivée seconde :
x | − ∞ | 1 | |||
+ | − |
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour donc le point A d'abscisse 1 est un point d'inflexion de la courbe .
Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.
Comme , la fonction f est convexe sur l'intervalle .
Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par . On admet que F est une primitive de f sur .
Calculer . On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
F est une primitive de la fonction f sur d'où
soit arrondie au centième près .
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