Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
Elle passe par les points A14e0,5, B05 et C50. Le point D-30 appartient à la tangente à Cf au point A.
On note f la fonction dérivée de f sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a - Par lecture graphique

  1. Quel est le signe de f1 ? Justifier.

    f1 est égal au coefficient directeur de la la tangente à Cf au point A donc f1>0.


  2. Que semble représenter le point A pour la courbe Cf ?

    La courbe Cf traverse sa tangente en A donc la courbe Cf admet le point A d'abscisse 1 comme point d'inflexion.


    1. Préciser un domaine du plan dont l'aire est égale à I=03fxdx unités d'aires.

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Sur l'intervalle 03, la courbe Cf est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale I=03fxdx mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=3.


    2. Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :0I9;10I12;20I24

      L'aire du domaine situé entre la courbe Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=3 est comprise entre l'aire de deux trapèzes d'aires : 5+9×32=21et5+10×32=22,5

      Le seul encadrement qui convient est 20I24.


partie b - Par le calcul

On admet que pour tout réel x, fx=5-xe0,5x et fx=1,5-0,5xe0,5x. On note f la fonction dérivée seconde de f sur .

    1. Vérifier que, pour tout réel x, fx=0,25-x+1e0,5x.

      f est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {ux=1,5-0,5x;ux=-0,5vx=e0,5x;vx=0,5e0,5x

      Soit pour tout réel x, fx=-0,5e0,5x+0,5×1,5-0,5xe0,5x=0,5×-1+1,5-0,5x×e0,5x=0,5×0,5-0,5x×e0,5x=0,25×1-x×e0,5x

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie sur par fx=0,25-x+1e0,5x.


    2. Résoudre l'équation fx=0. Montrer que le point A est un point d'inflexion de la courbe Cf.

      0,25-x+1e0,5x=0-x+1=0x=1

      Comme pour tout réel x, e0,5x>0, fx est du même signe que -x+1. D'où le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x− ∞1+ ∞
      fx+0||

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=1 donc le point A d'abscisse 1 est un point d'inflexion de la courbe Cf.


    3. Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.

      Comme fx0x1, la fonction f est convexe sur l'intervalle -1.


  1. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par Fx=-2x+14e0,5x. On admet que F est une primitive de f sur .
    Calculer I=03fxdx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

    F est une primitive de la fonction f sur d'où 03fxdx=F3-F0=8e1,5-14e0=8e1,5-14

    I=03fxdx=8e1,5-14 soit arrondie au centième près I21,85.



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