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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath}} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2013 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Asie}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Asie 2013}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un réel de l'intervalle $[ -2 ; 5]$.

Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle $[ -1 ; 1]$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$ 	&\textbf{b.~~} $\dfrac{2}{7}$ & \textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2}$  & \textbf{d.~~} $0,7$
\end{tabularx}

\medskip
 

\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d'écart type 2.

Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité $P(X \leqslant 1)$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $0,16$ 	&\textbf{b.~~} $0,68$ & \textbf{c.~~} $0,95$  & \textbf{d.~~} $0,99$
\end{tabularx}

\medskip


\item Quelle courbe représente la fonction de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N} (0,1)$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(11,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(11,5)
\psset{xunit=.4cm, yunit=8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-4,-0.05)(11,0.25)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,0.1){\scriptsize{$0,1$}}
\uput[dl](11,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,0.25){\scriptsize{$y$}} 
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-4}{11}
\end{pspicture} &\textbf{b.~~} \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{1/(x^2+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(7,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-1)(7,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,1){\scriptsize{$0,2$}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,6){\scriptsize{$y$}} 
\psset{xunit=.4cm, yunit=2cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{\f}
\end{pspicture} \\ 
\textbf{c.~~}  \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(6,9)
\psset{xunit=.4cm, yunit=8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-5,-0.05)(6,0.45)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,0.1){\scriptsize{$0,1$}}
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,0.45){\scriptsize{$y$}} 
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-5}{6}
\end{pspicture}  &\textbf{d.~~}   \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{1/(x^2)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(7,9)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-.5)(7,4.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,1){\scriptsize{$1$}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4.5){\scriptsize{$y$}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-.47}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.47}{7}{\f}
\end{pspicture} \\ 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Lors d'un sondage avant une élection, on interroge 800 personnes (constituant un échantillon représentatif). 424 d'entre elles déclarent qu'elles voteront pour le candidat H.

Soit $p$ la proportion d'électeurs de la population qui comptent voter pour H.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\% de la proportion $p$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}  $[0,46; 0,60]$ & \textbf{b.~~} $[0,48; 0,58]$ & \textbf{c.~~} $[0,49; 0,57]$ &\textbf{d.~~} $[0,51; 0,55]$
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves de terminale de séries générales selon la série et le
sexe, à la rentrée 2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& Filles & Garçons \\ \hline
Littéraire (L) & \np{40872} & \np{11080} \\ \hline
Sciences économiques et sociales (ES)  & \np{63472} & \np{40506} \\ \hline
Scientifique (S) & \np{71765} & \np{87031} \\ \hline \hline
Total & \np{176109} & \np{138617} \\ \hline
\multicolumn {3}{r}{\footnotesize{\textsf{\emph{Source : Ministère de l'Éducation nationale, DEPP}}}} \\
\end{tabularx}
\end{center}

Notations :

$p(\mathrm{A})$ désigne la probabilité d'un évènement A.

$p_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ désigne la probabilité d'un évènement B sachant que l'évènement A est réalisé.

\medskip

On choisit au hasard un élève de terminale de série générale.

On note : 

\begin{description}
\item F : l'évènement \og L'élève choisi est une fille \fg.

\item G : l'évènement \og L'élève choisi est un garçon \fg.

\item L : l'évènement \og L'élève choisi est en série Littéraire \fg.

\item ES : l'évènement \og L'élève choisi est en série Sciences Économiques et Sociales \fg.

\item S : l'évènement \og L'élève choisi est en série Scientifique \fg.
\end{description}

\begin{center}
\textbf{Tous les résultats seront arrondis au centième.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les effectifs inscrits dans le tableau :
\begin{enumerate}
\item Sachant qu'on interroge un garçon, calculer la probabilité qu'il soit en série Littéraire.
\item Calculer $p(\mathrm{S})$.
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(2,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=1pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\; \footnotesize{\bleu F}\;}\naput{\small{\prune{\textsf{0,56}}}}}
	{\TR{\;\footnotesize{\bleu L}}\naput{\small{\prune{\textsf{0,23}}}}
	\TR{\;\footnotesize{\bleu ES}}\naput{\small{\prune{\textsf{0,36}}}}
	\TR{\;\footnotesize{\bleu S}}
	}
\pstree{\TR{\;\footnotesize{\bleu G}\;}}
	{\TR{\;\footnotesize{\bleu L}}
	\TR{\;\footnotesize{\bleu ES}}\naput{\small{\prune{\textsf{0,29}}}}
	\TR{\;\footnotesize{\bleu S}}
	}
	
}
\end{pspicture}
\end{center}

\item En utilisant l'arbre complété et les propriétés des probabilités :
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que l'élève choisi soit un élève de la série Sciences Économiques et Sociales est égale à 0,33.
\item Calculer $p_{\mathrm{ES}}(\mathrm{F})$.
\end{enumerate}
\item  On choisit successivement et au hasard 10 élèves de terminale de série générale. On admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que ces choix soient assimilés à des tirages indépendants avec remise.

Calculer la probabilité de choisir exactement trois élèves de la série ES.
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.
 
\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Pour accéder à sa messagerie, Antoine a choisi un code qui doit être reconnu par le graphe étiqueté suivant, de sommets 1, 2, 3 et 4 :

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(3,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{labelsep=2pt,nodesep=1pt,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\rput(0,0){\dianode{A}{1}}
\rput(1,0){\dianode{B}{2}}
\rput(2,0){\dianode{C}{3}}
\rput(3,0){\dianode{D}{4}}
\ncarc{->}{A}{B}\naput{\textbf{\prune{\textsf{S}}}}
\ncarc{->}{B}{A}\naput{\textbf{\prune{\textsf{U}}}}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{B}{.7cm}\nbput{\textbf{\prune{\textsf{P}}}}
\rput{180}(1,0){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{.7cm}\nbput[nrot=:U]{\textbf{\prune{\textsf{C}}}}}
\ncline{->}{B}{C}\naput{\textbf{\prune{\textsf{E}}}}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{C}{.7cm}\nbput{\textbf{\prune{\textsf{N}}}}
\ncline{->}{C}{D}\naput{\textbf{\prune{\textsf{S}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Une succession des lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet 1 et en sortant au sommet 4. Les codes SES et SPPCES sont ainsi des codes possibles, contrairement aux codes SUN et SPEN.

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois codes suivants, écrire sur votre copie le (ou les) code(s) reconnu(s) par le graphe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
SUCCES & SCENES & SUSPENS
\end{tabularx}
\end{center}
\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence $A$ associée au graphe. On prendra les sommets dans l'ordre 1-2-3-4.
\[ A= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\end{pmatrix}
\]

\item Avec une calculatrice on a calculé : $A^4 =\begin{pmatrix}
5 & 12 & 8 & 3 \\
12 & 29 & 20 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$.

En déduire le nombre de codes de 4 lettres reconnus par le graphe. Quels sont ces codes ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0){N}{\textbf{\bleu{\textsf{N}}}}   \cnodeput(1,-1){R}{\textbf{\bleu{\textsf{R}}}} \cnodeput(1,1){V}{\textbf{\bleu{\textsf{V}}}} \cnodeput(2.2,1){T}{\textbf{\bleu{\textsf{T}}}} \cnodeput(3,0){A}{\textbf{\bleu{\textsf{A}}}} \cnodeput(3.8,-1){E}{\textbf{\bleu{\textsf{E}}}} \cnodeput(5,1){B}{\textbf{\bleu{\textsf{B}}}} \cnodeput(5,-1){C}{\textbf{\bleu{\textsf{C}}}}  \cnodeput(6,0){D}{\textbf{\bleu{\textsf{D}}}}
\ncline{B}{A}\ncput*{\textbf{\prune{\textsf{35}}}}  \ncline{A}{E}\ncput*{\textbf{\prune{\textsf{12}}}}  \ncline{E}{C} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{38}}}} \ncline{C}{D} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{18}}}}  \ncline{D}{B} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{19}}}} \ncline{B}{E} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{41}}}} \ncline{E}{R} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{53}}}} \ncline{R}{N} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{21}}}}  \ncline{N}{V} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{32}}}} \ncline{V}{T} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{16}}}} \ncline{T}{R} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{24}}}} \ncline{R}{A} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{58}}}}
\ncline{A}{T} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{25}}}} \ncline{T}{B} \ncput*{\textbf{\prune{\textsf{63}}}} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

Antoine décide d'aller visiter neuf châteaux de la Loire.

Il a construit le graphe ci-dessus où les sommets représentent:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
A : Amboise &  B : Blois & C : Cheverny & D : Chambord\\
E : Chenonceau & T : Tours & V : Villandry & R : Azay-le-Rideau\\
N : Chinon & & & \\
\end{tabularx}

Sur les arêtes sont indiquées les distances en km

\begin{enumerate}
\item Antoine peut-il partir de Blois et y revenir, en parcourant une et une seule fois chacune des routes matérialisées par les arêtes de ce graphe ? On justifiera la réponse.
\item Déterminer le plus court chemin pour aller du château de Chambord au château de Chinon. On donnera le parcours ainsi que le nombre total de kilomètres.
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70\% des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.

Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.
\item On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0 = 600$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7u_n + 210$.

On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(u_n)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{5cm}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& \textsf{A} & \textsf{B} \\ \hline
\textsf{1} & $n$ & $u_n$ \\ \hline
\textsf{2} & 0 & 600 \\ \hline
\textsf{3} & 1 &  \\ \hline
\textsf{4} & 2 &  \\ \hline
\textsf{5} & 3 &  \\ \hline
\textsf{6} & 4 &  \\ \hline
\textsf{7} & 5 &  \\ \hline
\textsf{8} & 6 &  \\ \hline
\textsf{9} & 7 &  \\ \hline   
\end{tabularx}
\end{center}

Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer $u_1$ ; cette formule \og tirée vers le bas \fg{} dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite $(u_n)$.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 700$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,7.

Préciser son premier terme.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 700 - 100 \times 0,7^n$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n \geqslant 697$ est équivalent à $0,7^n \leqslant 0,03$.
\item Pour résoudre cette inéquation, on utilise l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|lm{6cm}}
\textbf{Variables :} & $N$ est un nombre entier naturel\\
\textbf{Initialisation :} & Affecter à $N$ la Valeur 0 \par Affecter à $U$ la valeur 1 \\
\textbf{Traitement :} & Tant que $U > 0,03$ \par
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $N$ la valeur $N + 1$.
\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,7 \times U$.
\end{itemize}
Fin du Tant que\\
\textbf{Sortie :} & Afficher $N$.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Quelle valeur de $N$ obtient-on en sortie ? (On fera tourner l'algorithme).
\item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation $0,7^n \leqslant 0,03$.
\item En utilisant l'étude précédente de la suite $(u_n)$, déterminer à partir de quelle année le nombre d'abonnés atteindra au moins 697.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

Elle passe par les points $A\left(1 ; 4\mathrm{e}^{0,5} \right)$ ,$B(0; 5)$ et $C(5; 0)$.

Le point $D( -3 ; 0)$ appartient à la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(7,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(5-x)*EXP(0.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(7,12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-4)(7,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](7,0){{$x$}} \uput[dl](0,12){{$y$}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5.285}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-5,-3.297)(4.278,12)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,6.595)
\uput[r](0,5){\bleu{$B$}}
\uput[u](1,6.59){\bleu{$A$}}
\uput[ur](5,0){\bleu{$C$}}
\uput[dl](4.9,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[ul](-3,0){\prune{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a} - par lecture graphique}}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $f'(1)$ ? Justifier.
 \item  Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item \begin{enumerate}
\item Préciser un domaine du plan dont l'aire est égale à $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$ unités d'aires.
\item Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
$0 \leqslant I \leqslant 9$ & $10 \leqslant I \leqslant 12$ & $20 \leqslant I \leqslant 24$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b} - par le calcul}}


\medskip

On admet que pour tout réel $x$, $f(x) = (-x + 5)\mathrm{e}^{0,5x}$ et $f '(x) = (1,5- 0,5x)\mathrm{e}^{0,5x}$. 

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x$, $f ''(x) = 0,25(-x + 1)\mathrm{e}^{0,5x}$.
\item Résoudre l'équation $f''(x)= 0$. Montrer que le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle convexe ? Justifier.
\end{enumerate} 

\item Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = (-2x+14)\mathrm{e}^{0,5x}$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

        
\end{document}