Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

  1. Paul se connecte sur le site. La durée D (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle 20120.

    1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.

      La durée D (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle 20120 d'où P20D60=60-20120-20=0,4

      La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est égale à 0,4.


    2. Calculer l'espérance mathématique de D. Interpréter ce résultat.

      L'espérance mathématique de D est E=20+1202=70

      L'espérance mathématique de D est égale à 70. Les quatre joueurs sont réunis en moyenne au bout de 70 secondes.


  2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée J (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝒩120400.

    1. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire J.

      La variable aléatoire J suit la loi normale 𝒩120400 signifie que J suit la loi normale d'espérance μ=120 et d'écart-type σ=400=20.


    2. Montrer l'équivalence : 90<J<180-1,5<J-12020<3

      90<J<18090-120<J-120<180-120-3020<J-12020<6020-1,5<J-12020<3

    3. On définit la variable aléatoire X par X=J-12020. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X.

      La variable aléatoire J suit la loi normale d'espérance μ=120 et d'écart-type σ=20 donc la variable aléatoire X définie par X=J-12020 suit la loi normale centrée réduite.


    4. Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près.

      Avec la calculatrice on trouve : P-1,5X30,932ouP90J1800,932

      La probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes est égale à 0,932.



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