sujet : Centres Étrangers 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

1. Paul se connecte sur le site. La durée D (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[20;120\right]$.

   1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.

      La durée D (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[20;120\right]$ d'où $$P\left(20⩽D⩽60\right)={\displaystyle \frac{60-20}{120-20}}=\mathrm{0,4}$$

      La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est égale à 0,4.

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   2. Calculer l'espérance mathématique de D. Interpréter ce résultat.

      L'espérance mathématique de D est $$E={\displaystyle \frac{20+120}{2}}=70$$

      L'espérance mathématique de D est égale à 70. Les quatre joueurs sont réunis en moyenne au bout de 70 secondes.

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2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée J (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $𝒩\left(120;400\right)$.

   1. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire J.

      La variable aléatoire J suit la loi normale $𝒩\left(120;400\right)$ signifie que J suit la loi normale d'espérance $\mu =120$ et d'écart-type $\sigma =\sqrt{400}=20$.

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   2. Montrer l'équivalence : $90<J<180\iff -\mathrm{1,5}<{\displaystyle \frac{J-120}{20}}<3$

      $$\begin{array}{ccc}90<J<180& \iff & 90-120<J-120<180-120\hfill \\ & \iff & -{\displaystyle \frac{30}{20}}<{\displaystyle \frac{J-120}{20}}<{\displaystyle \frac{60}{20}}\hfill \\ & \iff & -\mathrm{1,5}<{\displaystyle \frac{J-120}{20}}<3\hfill \end{array}$$

   3. On définit la variable aléatoire X par $X={\displaystyle \frac{J-120}{20}}$. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X.

      La variable aléatoire J suit la loi normale d'espérance $\mu =120$ et d'écart-type $\sigma =20$ donc la variable aléatoire X définie par $X={\displaystyle \frac{J-120}{20}}$ suit la loi normale centrée réduite.

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   4. Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près.

      Avec la calculatrice on trouve : $$\begin{array}{ccc}P\left(-\mathrm{1,5}⩽X⩽3\right)\approx \mathrm{0,932}& \text{ou}& P\left(90⩽J⩽180\right)\approx \mathrm{0,932}\end{array}$$

      La probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes est égale à 0,932.

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