Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d'un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d'hommes.
Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.

partie a

On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
On note H l'évènement « la personne choisie est un homme », F l'évènement « la personne choisie est une femme », E l'évènement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et E¯ l'évènement contraire de E.
Rappel des notations :
Si A et B sont deux évènements donnés, P(A) désigne la probabilité que l'évènement A se réalise et PB(A) désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité proposé ci-dessous :

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    1. Traduire par une phrase l'évènement EF et calculer sa probabilité.

      EF est l'évènement « la personne choisie est une femme et elle écoute les explications du démarcheur »

      P(EF)=PF(E)×P(F)=0,6×0,35=0,21

      Ainsi, la probabilité que la personne choisie soit une femme qui écoute les explications du démarcheur est égale à 0,21.


    2. Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405.

      Les évènements H et E sont relatifs à la même épreuve. D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      P(E)=P(EH)+P(EF)

      Or P(EH)=PH(E)×P(H)=0,3×0,65=0,195

      D'où P(E)=0,195+0,21=0,405

      La probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405.


    3. Le démarcheur s'adresse à une personne qui l'écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? On donnera le résultat arrondi au centième.

      PE(H)=P(HE)P(E)SoitPE(H)=0,1950,4050,48

      La probabilité que la personne qui l'écoute soit un homme est égale à 0,48.


partie b

Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l'opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

    12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait, chaque employé effectue 60 appels par jour et, le fichier est suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques donc :

    X suit une loi binomiale de paramètres 60 et 0,12.


  2. Déterminer la probabilité que l'employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (On arrondira le résultat au centième).

    P(X=5)=(605)×0,125×(1-0,12)550,12

    Arrondie au centième près, la probabilité que l'employé obtienne 5 souscriptions un jour donné est 0,12.


  3. Déterminer la probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription un jour donné. On donnera une valeur arrondie au dix millième.

    L'évènement « obtenir au moins une souscription un jour donné » est l'évènement contraire de « n'obtenir aucune souscription un jour donné ». D'où P(X1)=1-P(X=0)=1-0,88600,9995

    Arrondie au dix millième près, la probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription un jour donné est 0,9995.



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