Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2013

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la suite un la suite définie par u0=10 et pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+1,2.

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-12.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-12=0,9un+1,2-12=0,9un-10,8=0,9×un-12=0,9vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,9vn alors la suite vn est une suite géométrique de raison 0,9.

      Calculons le premier terme de la suite vn : v0=u0-12Soitv0=10-12=-2

      Ainsi, la suite vn est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=-2.


    2. Exprimer vn, en fonction de n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=-2 alors :

      Pour tout entier naturel n, vn=-2×0,9n.


    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=12-2×0,9n.

      Comme pour tout entier n, vn=un-12 alors un=vn+12.

      Donc pour tout entier n, un=12-2×0,9n.


  2. Déterminer la limite de la suite vn et en déduire celle de la suite un.

    0<0,9<1 donc limn+0,9n=0 d'où, limn+12-2×0,9n=12. Soit limn+un=12.

    La suite un converge vers 12.


partie b

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

  • 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
  • 1200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
  1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite unun désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n.

    Soit un le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n

    • En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants d'où u0=10
    • 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville et 1200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville d'où un+1=0,9un+1,2.

    Le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n peut être modélisé par la suite un définie par u0=10 et pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+1,2.


  2. Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
    Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année 2012 + n.

    Le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n est modélisé par la suite un définie par u0=10 et pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+1,2. d'où l'algorithme :

    variables

    a , i, n

    initialisation

    Choisir n
    a prend la valeur 10

    traitement

    Pour i allant de 1 à n,
    a prend la valeur 0,9×a+1,2

    sortie

    Afficher a

    1. Résoudre l'inéquation 12-2×0,9n>11,5

      12-2×0,9n>11,5-2×0,9n>-0,50,9n<0,25ln0,9n<ln0,25 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,9<ln0,25n>ln0,25ln0,9ln0,9<0

      n est un entier supérieur à ln0,25ln0,913,2

      Les solutions de l'inéquation 12-2×0,9n>11,5 sont les entiers n14.


    2. En donner une interprétation.

      À partir de 2026, la population de la ville de Bellecité dépassera 11 500 habitants.



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