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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2013 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Liban}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Liban 2013}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). 
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. 
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Parmi toutes les fonctions définies sur $]0 ; +\infty[$ et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $x^3 - 3x^2 + 4$&\textbf{b.~~} $\ln (x)$&\textbf{c.~~} $- \e^{x}$&\textbf{d.~~} $x^2 + x + 5$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Une primitive de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \ln (x)$ est la fonction $F$ définie par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4} X}
\textbf{a.~~}  $F(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} $F(x) = x\ln (x) - x$&\textbf{c.~~}  $F(x) = x\ln (x)$&\textbf{d.~~} $F(x) = \ln (x)$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \e^{2x}\:\mathrm{d}x$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $3,19$ 	&\textbf{b.~~} $\e^2 - 1$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2} \e^2$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2} \left(\e^2 - 1\right)$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(1 ;  4)$, alors une valeur approchée au centième de 

$P\left(2  \leqslant X \leqslant 3 \right)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} 0,15 	&\textbf{b.~~} 0,09&\textbf{c.~~} 0,34&\textbf{d.~~} 0,13
\end{tabularx}
\medskip
  
\item Dans une commune comptant plus de 100~000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
 
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $[0,35 ; 0,75]$ 	&\textbf{b.~~} $[0,40 ; 0,70]$ &\textbf{c.~~} $[0,45 ; 0,65]$ & \textbf{d.~~} $[0,50 ; 0,60]$ 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2$.
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

\begin{itemize}
\item 10\,\% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ; 
\item  1200  personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 
\item Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
 
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 

\begin{center}
\framebox [6cm]{\begin{minipage}{5cm} 
\textsf {\textsc{variables}}

\setlength\parindent{5mm}
$a, i, n.$
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{initialisation}}

\setlength\parindent{5mm}

Choisir $n$

$a$ prend la valeur 10

\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{traitement}}

\setlength\parindent{5mm}

Pour $i$ allant de $1$ à $n$,

\setlength\parindent{1cm}

$a$ prend la valeur \ldots

\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{sortie}}

\setlength\parindent{5mm}
Afficher $a$
\setlength\parindent{0mm}

\end{minipage}} 
\end{center} 

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $12 - 2 \times 0,9^n > 11,5$. 
		\item En donner une interprétation. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[5 ; 60]$ par $C(x) = \dfrac{\e^{0,1x} + 20}{x}$.
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C$. 

Montrer que, pour tout $x \in [5 ; 60]$,  $C'(x) = \dfrac{0,1x \e^{0,1x} -  \e^{0,1x} - 20}{x^2}$. 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[5 ; 60]$ par $f(x) = 0,1x \e^{0,1x} -  \e^{0,1x} - 20$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[5 ; 60]$. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[5 ; 60]$. 
		\item Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$. 
		\item En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur $[5 ; 60]$.
	\end{enumerate} 
\item En déduire le tableau de variations de $C$ sur $[5 ; 60]$. 
\item En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item $C(x) = 2$. 
		\item $C(x) = 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Une entreprise fabrique chaque mois $x$ vélos de course, avec $x$ appartenant à l'intervalle $[5 ; 60]$.
 
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de $x$ vélos de course, est donné par la fonction $C$ définie dans la partie A.
 
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70\,\% des heures sont creuses.
 
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :


\begin{itemize}
\item lorsque l'heure est creuse, 20\,\% des terrains sont occupés ; 
\item lorsque l'heure est pleine, 90\,\% des terrains sont occupés.
\end{itemize}

 
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements : 

\begin{itemize}
\item $C$ : \og l'heure est creuse \fg 
\item $T$ : \og le terrain est occupé \fg 
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un arbre de probabilités. 
\item Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse. 
\item Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. 
\item Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à $\dfrac{27}{41}$.
\end{enumerate}
\medskip
  
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :
 
\begin{itemize}
\item  10~\euro{} pour une heure pleine, 
\item  6~\euro{} pour une heure creuse.
\end{itemize}
  
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, $X$ prend 3 valeurs :

 
\begin{itemize}
\item  10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine, 
\item  6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse, 
\item  0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
\end{itemize}
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
\item Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de $X$. 
\item Déterminer l'espérance de $X$. 
\item La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{3}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France :
 
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-0.1)(14.5,4.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0.6){Z}{\bleu \sf Z}\cnodeput(1,2.6){B}{\bleu \sf B}\cnodeput(5,0.2){T}{\bleu \sf T}
\cnodeput(5.2,3){R}{\bleu \sf R}\cnodeput(9,4){C}{\bleu \sf C}\cnodeput(10,0.4){P}{\bleu \sf P}
\cnodeput(12.6,3.8){L}{\bleu \sf L}\cnodeput(13,2.4){V}{\bleu \sf V}\cnodeput(14,0.4){M}{\bleu \sf M}
\ncline{B}{Z}\ncline{B}{R}\ncline{B}{T}\ncline{R}{C}\ncline{R}{T}\ncline{C}{L}\ncline{C}{P}\ncline{L}{V}\ncline{V}{M}\ncline{V}{P}\ncline{M}{P}\ncline{P}{T}\ncline{T}{Z}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour cette question, on justifiera chaque réponse. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ordre du graphe. 
		\item Déterminer si le graphe est connexe. 
		\item Déterminer si le graphe est complet.
	\end{enumerate} 
\item Un touriste atterrit à l'aéroport de Lyon et loue une voiture.
 
Déterminer, en justifiant, s'il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. 
\item Il décide finalement d'aller seulement de Lyon à Biarritz. 

On note $N$ la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V, Z. 

Voici les matrices $N$ et $N^3$ : 


\[N = \begin{pmatrix}
0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &1\\ 
0 &0 &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 
0 &1 &0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\
1 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\
1 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \\
0 &0 &1 &1 &1 &0 &0 &0 &0\\ 
1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\
\end{pmatrix}
 \:\:\text{et}\:\: N^3 = \begin{pmatrix}
4 &2 &1 &1 &3 &6 &6 &1 &5\\ 
2 &0 &5 &2 &8 &6 &1 &1 &3\\ 
1 &5 &0 &2 &1 &0 &3 &5 &0\\ 
1 &2 &2 &2 &5 &2 &1 &4 &1\\ 
3 &8 &1 &5 &2 &1 &8 &7 &1\\ 
6 &6 &0 &2 &1 &2 &8 &3 &2\\ 
6 &1 &3 &1 &8 &8 &4 &1 &6\\ 
1 &1 &5 &4 &7 &3 &1 &2 &1\\ 
5 &3 &0 &1 &1 &2 &6 &1 &2\\
\end{pmatrix}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice $N^4$. 
		\item En donner une interprétation. 
	\end{enumerate}
\item Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro.  

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-0.1)(14.5,4.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0.6){Z}{\bleu \sf Z}\cnodeput(1,2.6){B}{\bleu \sf B}\cnodeput(5,0.2){T}{\bleu \sf T}
\cnodeput(5.2,3){R}{\bleu \sf R}\cnodeput(9,4){C}{\bleu \sf C}\cnodeput(10,0.4){P}{\bleu \sf P}
\cnodeput(12.6,3.8){L}{\bleu \sf L}\cnodeput(13,2.4){V}{\bleu \sf V}\cnodeput(14,0.4){M}{\bleu \sf M}
\ncline{B}{Z} \ncput*{\bf \sf \prune\small{4,40}} \ncline{B}{R}\ncput*{\bf \sf \prune\small{11,50}}\ncline{B}{T}\ncput*{\bf \sf \prune\small{17,50}}\ncline{R}{C}\ncput*{\bf \sf \prune\small{11,50}}\ncline{R}{T}\ncput*{\bf \sf \prune\small{14,60}}\ncline{C}{L}\ncput*{\bf \sf \prune\small{10,70}}\ncline{C}{P}\ncput*{\bf \sf \prune\small{8,60}}\ncline{L}{V}\ncput*{\bf \sf \prune\small{7,10}}\ncline{V}{M}\ncput*{\bf \sf \prune\small{15,70}}\ncline{V}{P}\ncput*{\bf \sf \prune\small{16,20}}\ncline{M}{P}\ncput*{\bf \sf \prune\small{9,40}}\ncline{P}{T}\ncput*{\bf \sf \prune\small{19,60}}\ncline{T}{Z}\ncput*{\bf \sf \prune\small{19,60}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz. 
		\item Déterminer le coût, en euro, de ce trajet. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

        
\end{document}