Algorithme de Dijkstra, Graphe probabiliste,
Les parties A et B sont indépendantes
Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. Les sept balises notées B1 ; B2 ; … ; B7 sont représentées sur le graphe ci-dessous. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.
Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.
Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins ? Justifier la réponse.
Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?
Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l'arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.
Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme.
On détermine la durée minimale du parcours possible à l'aide de l'algorithme de Dijkstra.
Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012.
En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme.
On note :
Pour tout entier n non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année 2011 + n est défini par la matrice ligne où désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année 2011 + n.
Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.
En remarquant que , déterminer . Interpréter ce résultat.
Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ?
Déterminer l'état stable du système.
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