Algorithme de Dijkstra, Graphe probabiliste,

Baccalauréat septembre 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. Les sept balises notées B1 ; B2 ; … ; B7 sont représentées sur le graphe ci-dessous. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.

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    1. Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.

    2. Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins ? Justifier la réponse.

    3. Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?

  1. Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l'arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.
    Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme.

    On détermine la durée minimale du parcours possible à l'aide de l'algorithme de Dijkstra.


partie b

Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012.
En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme.

On note :

Pour tout entier n non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année 2011 + n est défini par la matrice ligne Pn=(xnyn)xn désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année 2011 + n.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.

  3. En remarquant que P0=(0,80,2), déterminer P1. Interpréter ce résultat.

  4. Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ?

    Déterminer l'état stable du système.


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