sujet : Amérique du Nord 2014

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.
On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a Modèle exponentiel

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction f qui modélise la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément et $f\left(x\right)$ la durée de chargement exprimée en seconde.

1. Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8 000 personnes connectées.

   $f\left(8\right)\approx 97$

   La durée de chargement pour 8 000 personnes connectées est de 97 secondes.

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2. 1. Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par f.

      La droite d'équation $y=15$ coupe la courbe au point d'abscisse 2.

      15 a pour antécédent 2.

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   2. Donner une interprétation de ce résultat.

      La durée de chargement pour 2 000 personnes connectées est de 15 secondes.

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partie b Modèle logarithmique

On considère une autre fonction g pour modéliser la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors $g\left(x\right)$ avec $g\left(x\right)=10x-8\ln \left(x\right)$ pour x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

1. 1. Calculer $g\prime \left(x\right)$

      $g\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)=10-{\displaystyle \frac{8}{x}}={\displaystyle \frac{10x-8}{x}}$.

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   2. Dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0,5		0,8		$+\infty$
      $g\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $g\left(x\right)$

2. 1. Justifier que la fonction G définie sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=5x^2+8x-8x\ln \left(x\right)$ est une primitive de g sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

      G est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}G\prime \left(x\right)& =& 10x+8-\left(8\times \ln \left(x\right)+8x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 10x+8-8\ln \left(x\right)-8\hfill \\ & =& 10x-8\ln \left(x\right)\hfill \end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ donc la fonction G est une primitive de la fonction g sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

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   2. On pose $I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_2^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$
      Montrer que la valeur exacte de I peut s'écrire sous la forme $a+b\ln \left(2\right)$ où a et b sont deux réels que l'on déterminera.

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_2^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[G\left(4\right)-G\left(2\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[80+32-32\ln \left(4\right)-20-16+16\ln \left(2\right)\right]\hfill \\ & =& 38-16\ln \left(4\right)+8\ln \left(2\right)\hfill \\ & =& 38-32\ln \left(2\right)+8\ln \left(2\right)\hfill \\ & =& 38-24\ln \left(2\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_2^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}=38-24\ln \left(2\right)$

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   3. Déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de I puis donner une interprétation de ce résultat.

      L'intégrale $I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_2^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx \mathrm{21,36}$ est égale à la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[2;4\right]$

      Quand 2 000 à 4 000 personnes sont connectées, la durée moyenne de chargement est d'environ 21,36 secondes.

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partie c

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément 8 000 personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.
Déerminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo.

$f\left(8\right)\approx 97$ et $g\left(8\right)=80-24\ln \left(2\right)\approx \mathrm{63,4}$

Comme 97 est plus proche de 92, c'est le modèle exponentiel qui semble le mieux adapté.

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