Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2014

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée u où $u_{n}$ désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013 + n).
En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

1. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
  $50000 \times 0,95 + 3000 = 50500$
  En 2014, la forêt compte 50 500 arbres.
2. Montrer que la suite u est définie par $u_{0} = 50 000$ et pour tout entier naturel n par la relation $u_{n + 1} = 0,95 u_{n} + 3 000$
  En 2013, la forêt compte 50 000 arbres donc $u_{0} = 50 000$ . Chaque année, on conserve 95 % des arbres existants et 3 000 arbres sont replantés d'où $u_{n + 1} = 0,95 u_{n} + 3 000$
On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = 60 000 - u_{n}$ .
1. Montrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
  Déterminer son premier terme.
  $v_{0} = 60 000 - u_{0}$ . Soit $v_{0} = 60 000 - 50 000 = 10 000$ . Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} v_{n + 1} = 60 000 - u_{n + 1} & \Leftrightarrow & v_{n + 1} = 60 000 - (0,95 u_{n} + 3 000) \\ \Leftrightarrow & v_{n + 1} = 57 000 - 0,95 u_{n} \\ \Leftrightarrow & v_{n + 1} = 0,95 \times (60 000 - u_{n}) \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,95 v_{n}$ donc v est une suite géométrique de raison 0,95.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  v est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_{0} = 10 000$ donc :
  pour tout entier naturel n, $v_{n} = 10 000 \times {0,95}^{n}$ .
3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 10 000 (6 - {0,95}^{n})$ .
  Pour tout entier naturel n, $v_{n} = 60 000 - u_{n} \Leftrightarrow u_{n} = 60 000 - v_{n}$ . D'où pour tout entier naturel n, $u_{n} = 60 000 - 10 000 \times {0,95}^{n} = 10 000 \times (6 - {0,95}^{n})$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 10 000 (6 - {0,95}^{n})$ .
4. Déterminer la limite de la suite u.
  $0 < 0,95 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,95}^{n} = 0$ par conséquent, $\lim_{n \to + \infty} 10 000 (6 - {0,95}^{n}) = 60 000$
  La suite u converge vers 60 000.
5. Interpréter le résultat précédent.
  La suite u converge vers 60 000 donc à partir d'un certain nombre d'années, la forêt comptera environ 60 000 arbres.
1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} ⩾ 57 000$
  $\begin{matrix} 60 000 - 10 000 \times {0,95}^{n} ⩾ 57 000 & \Leftrightarrow & - 10 000 \times {0,95}^{n} ⩾ - 3000 \\ \Leftrightarrow & {0,95}^{n} ⩽ 0,3 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,95}^{n}) ⩽ \ln 0,3 \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,95 ⩽ \ln 0,3 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,3}{\ln 0,95} & \ln 0,95 < 0 \end{matrix}$
  Comme $\frac{\ln 0,3}{\ln 0,95} \approx 23,47$ :
  les entiers naturels solutions de l'inéquation $u_{n} ⩾ 57 000$ sont les entiers $n ⩾ 24$ .
2. Interpréter ce résultat.
  À partir de 2037 le nombre d'arbres dépassera 57 000.

On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

Algorithme 1

Algorithme 2

Algorithme 3

variables :

A, U, N sont des nombres

Début de l'algorithme

Saisir la valeur de A
N prend la valeur 0
U prend la valeur 50 000

Tant que $U < A$ faire
N prend la valeur $N + 1$
U prend la valeur $0,95 U + 3000$
Fin Tant que

Afficher N

Fin de l'algorithme

variables :

U, I, N sont des nombres

Début de l'algorithme

Saisir la valeur de N
U prend la valeur 50 000

Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur $0,95 U + 3000$
Fin Pour

Afficher U

Fin de l'algorithme

variables :

U, I, N sont des nombres

Début de l'algorithme

Saisir la valeur de N
U prend la valeur 50 000

Pour I variant de 1 à N
Afficher U
U prend la valeur $0,95 U + 3000$
Fin Pour

Afficher U

Fin de l'algorithme

Le seul algorithme qui convienne est celui qui affiche les termes de la suite à l'intérieur de la boucle. C'est à dire l'algorithme 3.

Lorsque $A = 57 000$ l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
L'algorithme 1 donne le rang de l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres est supérieur à A.
Le nombre d'arbres de la forêt dépassera 57 000, 24 ans après 2013.

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