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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2014 \\ Série ES-L}}} %droit
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%pied de page
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\lfoot{Antilles Guyane 2014}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
 Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La somme $S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{30}$ est égale à : 
	\begin{enumerate}
		\item $- 1 + 2^{31}$ 
		\item $1 - 2^{31}$ 
		\item $- 1 + 2^{30}$ 
		\item $1 - 2^{30}$
	\end{enumerate} 
\item L'équation $- \dfrac{x^3}{3} + x^2 +3x = 0$ admet sur $\R$ : 
	\begin{enumerate}
		\item la solution $- 2$ 
		\item trois solutions distinctes 
		\item aucune solution 
		\item une unique solution 
	\end{enumerate} 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \ln x$. 

Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : 
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = \dfrac{1}{x}$  
		\item $F(x) = x \ln x$ 
		\item $F(x)= x \ln x - x$ 
		\item $F(x) = \e^x$ 
	\end{enumerate}
\item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n < 0,003$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que : 
	\begin{enumerate}
		\item $n \geqslant 8$ 
		\item $n \geqslant 9$ 
		\item $n \leqslant 8$ 
		\item $n \leqslant 9$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8\,\% de ses précédent abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.
 
En 2013 le nombre d'abonnés est de 20 millions.
 
On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année $2013 + n$. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 20\\ 
u_{n+1} &=& 0,92u_{n} + 3.
\end{array}\right.\]
 
Le terme $u_{n}$ donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année $2013 + n$.


\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant cette modélisation, l'opérateur décide d'arrondir les résultats à $10^{-3}$.
		 
À quoi correspond ce choix d'arrondi ? 
		\item Déterminer le nombre d'abonnés en 2014 et en 2015.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = u_{n} - 37,5$ pour tout entier naturel $n$.

Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = - 17,5 \times  0,92^n + 37,5$. 
\item Déterminer le nombre d'abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à $10^{- 3}$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item L'opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d'abonnés ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25 millions.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer le nombre d'années nécessaires à partir de 2013 pour que l'opérateur fasse des bénéfices.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
&$U$ un nombre réel \\
\textbf{Traitement : }& Affecter à $U$ la valeur 20\\ 
&Affecter à $N$ la valeur $0$\\ 
&Tant que \ldots \\ 
&\hspace{1em}\begin{tabular}{|l}
 Affecter à $U$ la valeur $0,92 \times  U + 3$\\
 Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
 \end{tabular}\\ 
&Fin Tant que\\ 

\textbf{Sortie :} & Afficher \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item En quelle année l'opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ? 
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Les services commerciaux d'une grande surface de produits alimentaires ont défini un profil de client qui a été appelé \og consommateur bio \fg.

\medskip
 
Sur la base d'observations réalisées les années précédentes, il a été constaté que :


\begin{itemize}
\item 90\,\% des clients \og consommateur bio \fg{} maintenaient cette pratique l'année suivante ; 
\item 15\,\% des clients n'ayant pas le profil de \og consommateur bio \fg{} entraient dans la catégorie \og consommateur bio \fg{} l'année suivante.
\end{itemize}
 
On suppose que cette évolution se poursuit d'une année à l'autre à partir de 2013, année au cours de laquelle il a été constaté que 20\,\% des clients ont le profil \og consommateur bio \fg.
 
Par un tirage aléatoire effectué tous les ans, on choisit un client de cette grande surface.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$ on note :

\begin{itemize}
\item $b_{n}$, la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ soit un \og consommateur bio \fg{} ;
\item $c_{n}$, la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ ne soit pas un \og consommateur bio \fg{} ; 
\item $P_{n}$, la matrice ligne $\begin{pmatrix}b_{n} & c_{n}\end{pmatrix}$ donnant l'état probabiliste lors de l'année $2013 + n$. 
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et C où B correspond à l'état \og consommateur bio \fg. 
		\item Donner $P_{0}$ l'état probabiliste en 2013 et la matrice $M$ de transition correspondant à ce graphe, les sommets B et C étant classés dans cet ordre. 
		\item On donne la matrice $M^2$ : $M^2 = \begin{pmatrix}0,825& 0, 175\\\np{0,2625}& \np{0,7375}\end{pmatrix}$. En précisant la méthode de calcul, déterminer la probabilité que le client choisi en 2015 soit un \og consommateur bio \fg. 
		\item Déterminer l'état stable $\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}$ du graphe probabiliste.
	\end{enumerate} 
\item Le directeur du supermarché affirme que, dans un futur proche, plus de la moitié de sa clientèle aura le profil de \og consommateur bio \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui doit permettre de déterminer le nombre minimal d'années pour que l'affirmation du directeur soit vérifiée.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}	& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
						&$B$ un nombre réel\\ 
\textbf{Traitement :}	& Affecter à $N$ la valeur $0$\\
						& Affecter à $B$ la valeur $0,2$\\
						& Affecter à $C$ la valeur $0,8$\\
						& Tant que \ldots \\
						&\hspace{1em}\begin{tabular}{|l} 
				Affecter à $B$ la valeur $0,9 \times B + 0,15 \times C$\\
				Affecter à $C$ la valeur $1 - B$ \\
				Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
						\end{tabular}\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}		&Afficher \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
		\item Déterminer le nombre minimal d'années recherché en expliquant la démarche. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
D'après une étude récente il y a \np{216762}~médecins en France métropolitaine parmi lesquels 0,6\,\% pratiquent l'ostéopathie et on compte \np{75164}~kinésithérapeutes parmi lesquels 8,6\,\% pratiquent l'ostéopathie. 

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On choisit une personne au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes. 

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $M$ : \og la personne choisie est médecin \fg{} ; 
\item $K$ : \og la personne choisie est kinésithérapeute\fg{} ; 
\item $O$ : \og la personne choisie pratique l'ostéopathie \fg. 
\end{itemize}

On représente la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=1.5pt,linecolor=bleu]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$M$~}\naput{0,74}}
	  { 
		  \TR{$O$}\naput{\ldots}
		  \TR{$\overline{O}$}\nbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{~$K$~}\nbput{0,26}}
	  {
		  \TR{$O$}\naput{\ldots}
		  \TR{$\overline{O}$}\nbput{\ldots}	  
	  }
}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Reproduire l'arbre de probabilité puis le compléter. 
\item Montrer que la probabilité $P(O)$ de l'évènement $O$ est égale à \np{0,0268}. 
\item Un patient vient de suivre une séance d'ostéopathie chez un praticien d'une des deux catégories.
 
Déterminer la probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute. Donner le résultat arrondi au centième. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On note $T$ la variable aléatoire associant à chaque patient la durée de visite, en minutes, chez un médecin-ostéopathe. On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart-type 10. 

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(20 \leqslant T \leqslant 40)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'une visite dure plus de trois quart d'heure.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On rappelle qu'en France métropolitaine 0,6\,\% des médecins pratiquent l'ostéopathie. 

Une région compte \np{47000}~médecins dont 164 médecins-ostéopathes. 

On note $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de médecins ostéopathes de la région. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les conditions d'utilisation de cet intervalle sont remplies. 
		\item Justifier que $I = [\np{0,0053} ; \np{0,0067}]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près. 

Peut-on considérer que pour la pratique de l'ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une entreprise fabrique et vend aux écoles primaires des lots constitués de cahiers et de stylos. 

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

L'entreprise possède une machine qui peut fabriquer au maximum \np{1500}~lots par semaine. Le coût total de fabrication hebdomadaire est modélisé par la fonction $g$ définie sur $[0 ; 15]$ par $g(x) = 18x + \e^{0,5x - 1}$.
 
Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $g(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
\item Justifier que $g$ est strictement croissante sur $[0 ; 15]$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'entreprise acquiert une nouvelle machine qui permet d'obtenir un coût total de fabrication hebdomadaire modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 15]$ par $f(x) = \e^{0,5x - 1} - x^2 + 20x + 20$.

Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $f(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{f}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $g$ et $f$.
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\g{18*x+EXP(.5*x-1)}
\def\f{EXP(.5*x-1)-x^2+20*x+20}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(16,10)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=100]{->}(0,0)(-.5,-50)(16,1000)
\uput[ul](16,0){\footnotesize{\emph{centaines de lots}}}
\uput[dr](0,1000){\footnotesize{\emph{centaines d'euros}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{15}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{0}{15}{\f}
\uput[dl](0,0){\footnotesize  0}
\rput(12.5,250){\prune $\mathcal{C}_{f}$}
\rput(12.5,470){\bleu $\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner un encadrement d'amplitude 100 du nombre $k$ de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production. 
\item On cherche à préciser le résultat précédent par le calcul. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la détermination de $k$ conduit à résoudre l'inéquation $- x^2 + 2x + 20 \leqslant 0$. 
		\item Résoudre cette inéquation sur l'intervalle $[0 ; 15]$. 
		\item En déduire le nombre entier de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production. 
	\end{enumerate}
\item On rappelle que le coût marginal obtenu avec cette nouvelle machine est donné par la fonction $f'$. 

Déterminer la valeur moyenne, arrondie à l'euro, du coût marginal lorsqu'on fabrique entre $5$ centaines et $8$ centaines de lots.
 
\emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $h$ sur  $[a ; b]$ est donnée par $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b h(x)\dd x$}. 
\end{enumerate}
         
\end{document}