sujet : Asie 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

On s'intéresse aux résultats d'un concours où l'on ne peut pas se présenter plus de deux fois.

partie a : étude des résultats de mai 2013

1. Déterminer les probabilités suivantes : $P_{C_1}\left(R\right)$ ; $P_{\overline{C_1}}\left(R\right)$ et $P\left(C_1\right)$.
   Aucune justification n'est attendue.

   • 60 % des personnes qui présentaient le concours le présentaient pour la première fois d'où $P\left(C_1\right)=\mathrm{0,6}$.

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   • 10 % de ceux qui le présentaient pour la première fois ont été admis d'où $P_{C_1}\left(R\right)=\mathrm{0,1}$.

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   • 40 % de ceux qui le présentaient pour la seconde fois l'ont réussi d'où $P_{\overline{C_1}}\left(R\right)=\mathrm{0,4}$.

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   La situation peut être représentée par l'arbre pondéré suivant :

2. Déterminer la probabilité que cette personne se soit présentée au concours pour la première fois et ait été admise.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(C_1\cap R\right)& =& P_{C_1}\left(R\right)\times P\left(C_1\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,6}\hfill \\ & =& \mathrm{0,06}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'une personne se présente au concours pour la première fois et soit admise est égale à 0,06.

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3. Montrer que la probabilité que cette personne ait été admise à ce concours en mai 2013 est de 0,22.

   Les évènements $C_1$ et R sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(R\right)=P\left(C_1\cap R\right)+P\left(\overline{C_1}\cap R\right)$$

   Or : $$\begin{array}{ccc}P\left(\overline{C_1}\cap R\right)& =& P_{\overline{C_1}}\left(R\right)\times P\left(\overline{C_1}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}\times \left(1-\mathrm{0,6}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,16}\hfill \end{array}$$

   D'où $$P\left(R\right)=\mathrm{0,06}+\mathrm{0,16}=\mathrm{0,22}$$

   La probabilité qu'une personne ait été admise à ce concours en mai 2013 est égale à 0,22.

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4. Sachant que cette personne a réussi le concours, déterminer la probabilité qu'elle l'ait présenté pour la première fois. Donner une valeur arrondie au centième.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_R\left(C_1\right)={\displaystyle \frac{P\left(R\cap C_1\right)}{P\left(R\right)}}& \text{Soit}& P_R\left(C_1\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,22}}}\approx \mathrm{0,27}\end{array}$$

   La probabilité qu'une personne ayant réussi le concours l'ait présenté pour la première fois est 0,27 arrondie au centième.

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partie b : résultats d'un établissement

Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.

Dans un établissement, parmi les 224 étudiants inscrits à la préparation à ce concours, 26 % ont été admis à la session de mai 2013.
On admet que dans cette population, on a également 60 % des personnes qui se présentaient pour la première fois.
Le directeur de l'établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de 22 %, ne peut être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l'enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l'ensemble des candidats.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % du pourcentage d'étudiants admis dans un groupe de 224 personnes.

   Comme $n=224$, $n\times p=224\times \mathrm{0,22}=\mathrm{49,28}$ et $n\times \left(1-p\right)=224\times \mathrm{0,78}=\mathrm{174,72}$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,22}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,78}}{224}}};\mathrm{0,22}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,78}}{224}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des étudiants admis à la session de mai 2013 sur un échantillon de taille 224 est $I=\left[\mathrm{0,16};\mathrm{0,28}\right]$.

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2. Que penser de l'affirmation du directeur de l'établissement ? Justifier.

   La fréquence 0,26, des étudiants de cet établissement qui ont été admis à la session de mai 2013, appartient à l'intervalle de fluctuation. Par conséquent, le directeur de l'établissement ne peut pas prétendre que ce résultat n'est pas dû au hasard.

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