sujet : Asie 2014

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

1. Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice M.

2. Donner la signification du nombre 0,95 dans la matrice M.

   95 % des commandes passées auprès du fournisseur A une certaine semaine, sont passées auprès du fournisseur A la semaine suivante.

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   Pour tout entier naturel n, on note :

   • $a_n$ la probabilité de l'évènement : « La semaine n, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A » ;
   • $h_n$ la probabilité de l'évènement : « La semaine n, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H » ;
   • $P_n$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}{a}_n& h_n\end{array}\right)$ correspondant à l'état probabiliste pour la semaine n.

3. Vérifier que la matrice ligne $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ correspond à l'état stable du système. En donner une interprétation.

   $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,95}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,1}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,05}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,9}\end{array}\right)\hfill \\ & =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $P\times M=P$ donc la matrice $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ correspond à l'état stable du système.
   Sur le long terme, chaque semaine deux tiers des commandes sont passées auprès du fournisseur A.

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4. On donne $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$ et on rappelle que $P_k=P_0\times M^k$, pour k entier naturel.
   Déterminer la semaine où, pour la première fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H.

   • méthode 1 : utilisation de la calculatrice

     $$\begin{array}{l}{P}_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,44}& \mathrm{0,56}\end{array}\right)\\ P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,474}& \mathrm{0,526}\end{array}\right)\\ P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5029}& \mathrm{0,4971}\end{array}\right)\end{array}$$

     Après trois semaines, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H.

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   • méthode 2 : utilisation d'une suite

     Pour tout nombre entier n, $$\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& h_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& h_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}{a}_n+\mathrm{0,1}{h}_n& \mathrm{0,05}{a}_n+\mathrm{0,9}{h}_n\end{array}\right)$$

     Soit pour tout nombre entier n, $a_{n+1}=\mathrm{0,95}{a}_n+\mathrm{0,1}{h}_n$ avec $a_n+h_n=1$. D'où pour tout nombre entier n, $$a_{n+1}=\mathrm{0,95}{a}_n+\mathrm{0,1}\times \left(1-a_n\right)=\mathrm{0,85}{a}_n+\mathrm{0,1}$$

     L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ donc la suite $\left(a_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

     Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier n par $v_n=a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& a_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\hfill \\ & =& \mathrm{0,85}{a}_n+\mathrm{0,1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\hfill \\ & =& \mathrm{0,85}{a}_n-{\displaystyle \frac{17}{30}}\hfill \\ & =& \mathrm{0,85}\times \left(a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,85}{v}_n\hfill \end{array}$$

     $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,85}$ et de premier terme $v_0=\mathrm{0,4}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{4}{15}}$. Donc pour tout entier n, $v_n=-{\displaystyle \frac{4}{15}}\times {\mathrm{0,85}}^n$.

     Par conséquent, pour tout entier n, $a_n={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{15}}\times {\mathrm{0,85}}^n$.

     Déterminons le plus petit entier naturel n tel que : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{15}}\times {\mathrm{0,85}}^n>\mathrm{0,5}& \iff & {\mathrm{0,8}}^n<{\displaystyle \frac{5}{8}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,85}}^n\right)<\ln \mathrm{0,625}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,85}<\ln \mathrm{0,625}\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,625}}{\ln \mathrm{0,85}}}\approx \mathrm{2,9}\hfill \end{array}$$

     Après trois semaines, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H.

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partie b

Le directeur de l'entreprise E rend visite à ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomètres possible.
Son assistant dresse le graphe suivant qui schématise les trajets, en kilomètres, entre les six villes de la région, notées B ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H.
Déterminer l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H et indiquer le nombre de kilomètres à effectuer. Justifier la réponse.

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H.

A	B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	100 (A)	175 (A)	158 (A)	∞	∞	∞	∞	B (100)
		175 (A)	158 (A)	250 (B)	∞	∞	∞	D (158)
		175 (A)		250 (B)	265 (D)	∞	∞	C (175)
				240 (C)	245 (C)	∞	∞	E (240)
					245 (C)	322 (E)	353 (E)	F (245)
						276 (F)	353 (E)	G (276)
							325 (G)	H (325)

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Le sommet H étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de F et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $H\leftarrow G\leftarrow F\leftarrow C\leftarrow A$.

L'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H est A - C - F - G - H. La distance parcourue est de 325 kilomètres.

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