On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.
Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction f, le nombre de malades durant l'épidémie.
Cette fonction f est définie sur par : où t est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et est le nombre de milliers de malades comptabilisés après t semaines.
On note la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout réel t de l'intervalle , .
Calculons la dérivée de la fonction g définie sur l'intervalle par
g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel t de l'intervalle ,
Soit pour tout réel t de l'intervalle ,
Comme alors,
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par.
Les variations de la fonction sont données dans le tableau suivant :
t | 1 | 4 | 26 | ||
18 |
Montrer que l'équation admet, dans l'intervalle , une solution et une seule qu'on notera α et donner l'encadrement de α par deux entiers naturels consécutifs.
, et
Sur l'intervalle , donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle la fonction est continue, strictement décroissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . l'équation admet une unique solution α dans cet intervalle.
L'équation admet, dans l'intervalle , une unique solution α avec .
En déduire le signe de sur et les variations de f sur .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
t | 1 | α | 26 | ||
+ | − | ||||
Le réel représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines.
Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : « sur , est décroissante.»
Sur l'intervalle , est décroissante donc la fonction f est concave. À partir de la quatrième semaine, on constate un ralentissement de la vitesse de propagation de la maladie.
À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.
Au terme de la quatrième semaine, on constate un ralentissement de la vitesse de propagation de la maladie donc à partir de la cinquième semaine, le nombre de malades par semaine a diminué.
On admet que la fonction G définie par est une primitive sur de la fonction g définie par : .
Déterminer, sur , une primitive F de la fonction f.
Pour tout réel t de l'intervalle , . Une primitive F de la fonction f est définie par
La fonction F définie par est une primitive sur de la fonction f.
On a trouvé que l'arrondi à l'entier de est 202. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte du problème.
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est :
Durant l'épidémie, il y a eu en moyenne 202000 malades par semaine.
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