Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.

partie a

Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction f, le nombre de malades durant l'épidémie.
Cette fonction f est définie sur [1;26] par : f(t)=24tln(t)-3t2+10t est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et f(t) est le nombre de milliers de malades comptabilisés après t semaines.

  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f.
    Montrer que, pour tout réel t de l'intervalle [1;26], f(t)=24ln(t)-6t+24.

    Calculons la dérivée de la fonction g définie sur l'intervalle [1;26] par g(t)=24tln(t)

    g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : g=uv d'où g=uv+uv avec pour tout réel t de l'intervalle [1;26], {u(t)=24t;u(t)=24v(t)=ln(t);v(t)=1t

    Soit pour tout réel t de l'intervalle [1;26], g(t)=24ln(t)+24t×1t=24ln(t)+24

    Comme f(t)=g(t)-3t2+10 alors, f(t)=24ln(t)+24-6t

    Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle [1;26] parf(t)=24ln(t)-6t+24.


  2. Les variations de la fonction f sont données dans le tableau suivant :

    t1 4 26
    f(t)

    18

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    48ln2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    24ln26-132

    1. Montrer que l'équation f(t)=0 admet, dans l'intervalle [1;26], une solution et une seule qu'on notera α et donner l'encadrement de α par deux entiers naturels consécutifs.

      f(1)=18, f(4)=24ln4=48ln2 et f(26)=24ln26-132-53,8

      Sur l'intervalle [1;4], f(t)18 donc l'équation f(t)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.

      Sur l'intervalle [4;26] la fonction f est continue, strictement décroissante et f(26)<0<f(4) alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b]. l'équation f(t)=0 admet une unique solution α dans cet intervalle.

      L'équation f(t)=0 admet, dans l'intervalle [1;26], une unique solution α avec 14<α<15.


    2. En déduire le signe de f(t) sur [1;26] et les variations de f sur [1;26].

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      t1 α 26
      f(t) +0|| 
      f(t) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Le réel f(t) représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines.

    1. Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : « sur [4;26], f est décroissante.»

      Sur l'intervalle [4;26], f est décroissante donc la fonction f est concave. À partir de la quatrième semaine, on constate un ralentissement de la vitesse de propagation de la maladie.


    2. À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.

      Au terme de la quatrième semaine, on constate un ralentissement de la vitesse de propagation de la maladie donc à partir de la cinquième semaine, le nombre de malades par semaine a diminué.


partie b

On admet que la fonction G définie par G(t)=12t2ln(t)-6t2 est une primitive sur [1;26] de la fonction g définie par : g(t)=24tln(t).

  1. Déterminer, sur [1;26], une primitive F de la fonction f.

    Pour tout réel t de l'intervalle [1;26], f(t)=g(t)-3t2+10. Une primitive F de la fonction f est définie par F(t)=G(t)-3×t33+10tSoitF(t)=12t2ln(t)-6t2-t3+10t

    La fonction F définie par F(t)=12t2ln(t)-t3-6t2+10t est une primitive sur [1;26] de la fonction f.


  2. On a trouvé que l'arrondi à l'entier de 126-1[F(26)-F(1)] est 202. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte du problème.

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [1;26] est : 126-1×126f(x)dx=125[F(26)-F(1)]202

    Durant l'épidémie, il y a eu en moyenne 202000 malades par semaine.



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