sujet : Asie 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On étudie l'évolution de la population d'une ville, depuis le 1^er janvier 2008.

partie a : un premier modèle

Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5 % par an depuis le 1^er janvier 2008.

1. Déterminer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1^er janvier 2008 et le 1^er janvier 2014. Donner une réponse à 0,1 % près.

   Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 3,5 % par an est $$1+{\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}}{100}}=\mathrm{1,035}$$

   Le coefficient multiplicateur associé au taux dévolution global sur 6 ans est $${\mathrm{1,035}}^6\approx \mathrm{1,229}$$

   Entre le 1^er janvier 2008 et le 1^er janvier 2014, la population a augmenté d'environ 22,9 %.

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2. À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1^er janvier à l'aide d'une suite :
   Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ le nombre d'habitants, exprimé en centaines de milliers d'habitants, au 1^er janvier de l'année 2008 + n.
   Au 1^er janvier 2008, cette ville comptait 100000 habitants.

   1. Que vaut $u_0$ ?

      Au 1^er janvier 2008, cette ville comptait 100000 habitants donc $u_0=1$.

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   2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $u_n={\mathrm{1,035}}^n$.

      La population augmente de 3,5 % par an depuis le 1^er janvier 2008 donc pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,035}{u}_n$.

      Ainsi, $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,035}$ et de premier terme $u_0=1$. Par conséquent :

      pour tout entier naturel n, $u_n={\mathrm{1,035}}^n$.

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   3. Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.

      Le rang de l'année au cours de laquelle la population aura doublé est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{1,035}}^n⩾2& \iff & \ln \left({\mathrm{1,035}}^n\right)⩾\ln 2\hfill \\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,035}⩾\ln 2\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln \mathrm{1,035}}}\hfill \end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln \mathrm{1,035}}}\approx \mathrm{20,1}$ alors $n=21$

      La population aura doublé au cours de l'année 2029.

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partie b : un second modèle

On modélise la population de cette ville à partir du 1^er janvier 2008 par la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{1+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}x}}}$ où x désigne le nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2008 et $f\left(x\right)$ le nombre d'habitants en centaines de milliers.
On admet que f est croissante sur $\left[0;+\infty \right[$.

Selon ce modèle, la population aura plus que doublé à partir de l'année de l'année 2036.

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