sujet : Centres Étrangers 2014

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{x^2-1}$. ${𝒞}_f$ est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f et $f″$ la fonction dérivée seconde de f.

1. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2+1\right){\mathrm{e}}^{x^2-1}$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x^2-1}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=2x{\mathrm{e}}^{x^2-1}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{x^2-1}+x\times 2x{\mathrm{e}}^{x^2-1}\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{x^2-1}\times \left(1+2x^2\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2+1\right){\mathrm{e}}^{x^2-1}$.

      ---

   2. En déduire le sens de variation de f sur $ℝ$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, $2x^2+1>0$ et ${\mathrm{e}}^{x^2-1}>0$ donc par produit, pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)>0$.

      Comme la dérivée de la fonction f est positive, f est croissante sur $ℝ$.

      ---

2. On admet que pour tout réel x, $f″\left(x\right)=2x\left(2x^2+3\right){\mathrm{e}}^{x^2-1}$.
   Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   Comme pour tout réel x, $2x^2+3>0$ et ${\mathrm{e}}^{x^2-1}>0$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que x. d'où le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   ---

3. Soit h la fonction définie sur $ℝ$ par $h\left(x\right)=x\left(1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}\right)$.

   1. Justifier que l'inéquation $1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[-1;1\right]$.

      $$\begin{array}{ccc}1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{x^2-1}⩽1\hfill \\ & \iff & x^2-1⩽0\hfill \end{array}$$

      Établissons le tableau du signe du polynôme du second degré $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

      x	$-\infty$		− 1		1		$+\infty$
      $x^2-1$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      Comme $1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾0\iff x^2-1⩽0$, on en déduit que l'inéquation $1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[-1;1\right]$.

      ---

   2. Déterminer le signe de $h\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[-1;1\right]$.

      Étudions le signe de $h\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		− 1		0		1		$+\infty$
      x		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $h\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$, $h\left(x\right)⩽0$ et sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $h\left(x\right)⩾0$.

      ---

   3. En remarquant que pour tout réel x, on a l'égalité $h\left(x\right)=x-f\left(x\right)$, déduire de la question précédente la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ et de la droite D d'équation $y=x$ sur l'intervalle $\left[0;1\right]$.

      Pour tout réel x, $$x\left(1-{\mathrm{e}}^{x^2-1}\right)=x-x{\mathrm{e}}^{x^2-1}$$

      Soit pour tout réel x, $h\left(x\right)=x-f\left(x\right)$. Comme sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $h\left(x\right)⩾0$, on en déduit que sur cet intervalle $x⩾f\left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la droite D est au dessus de la courbe ${𝒞}_f$.

      ---

4. Soit H la fonction définie sur $ℝ$ par $H\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{x^2-1}$ et soit $I={\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}$. On admet que H est une primitive de la fonction h sur $ℝ$.
   Calculer la valeur exacte de I.

   H est une primitive de la fonction h donc $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& H\left(1\right)-H\left(0\right)\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^0\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-1}\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-1}\hfill \end{array}$$

   $I={\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}}$.

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partie b : Applications

1. Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité.

   $$f\left(\mathrm{0,8}\right)=\mathrm{0,8}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,64}-1}\approx \mathrm{0,558}$$

   Les 80% des employés ayant les salaires les plus faibles détiennent environ 56% de la masse salariale dans l'entreprise F.

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2. On note $A_f$ l'aire du domaine délimité par la droite D, la courbe ${𝒞}_f$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
   On appelle indice de Gini associé à la fonction f, le nombre réel noté $I_f$ et défini par $I_f=2\times A_f$.

   1. Montrer que $I_f={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$.

      D'après l'étude précédente, la courbe ${𝒞}_f$ est en dessous de la droite D d'où $$A_f={\displaystyle {\int }_0^{1}x-f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}}$$

      L'indice de Gini associé à la fonction f est $I_f=2\times A_f={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

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   2. On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire.
      Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$, $x^3⩽x$.

      Donc sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $g\left(x\right)⩽x$ par conséquent, sur cet intervalle, la droite D est au dessus de la courbe ${𝒞}_g$.

      L'indice de Gini associé à la fonction g est donc $$I_g=2\times {\displaystyle {\int }_0^{1}x-x^3\mathrm{d}x}=2\times {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}\right]}_0^1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

      Comme $2<\mathrm{e}$, on en déduit que ${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

      L'indice de Gini de l'entreprise F est inférieur à celui de l'entreprise G. C'est dans l'entreprise F que la distribution des salaires est la plus égalitaire.

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