sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Donner sans justification la matrice $P_0$.

      Au 1^er septembre 2012, lors de l'inscription, le club comptait 30 % de débutants, 50 % de confirmés et 20 % d'experts d'où :

      $P_0=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$

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   2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E.

   On donne la matrice carrée M de transition en respectant l'ordre D, C, E des sommets. $M=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,4}& \mathbf{0,6}& 0\\ 0& \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathbf{0,8}\end{array}\right)$
   Dans la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au millième) : $$\begin{array}{ccc}{M}^5=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,085}& \mathrm{0,331}& \mathrm{0,584}\\ \mathrm{0,097}& \mathrm{0,293}& \mathrm{0,610}\\ \mathrm{0,104}& \mathrm{0,298}& \mathrm{0,598}\end{array}\right)& & M^{10}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,100}& \mathrm{0,299}& \mathrm{0,601}\\ \mathrm{0,100}& \mathrm{0,300}& \mathrm{0,600}\\ \mathrm{0,100}& \mathrm{0,300}& \mathrm{0,600}\end{array}\right)\end{array}$$

2. Dans cette matrice on lit 0,6 et 0,8 en gras.

   1. Préciser, à l'aide d'une phrase, à quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée.

      parmi les adhérents de niveau débutant, 60 % passent au niveau confirmé et, parmi les adhérents de niveau expert, 80 % restent à ce niveau.

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   2. Calculer $P_1$.

      $P_1=P_0\times M$ soit $$\begin{array}{ccc}{P}_1& =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}& 0\\ 0& \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\hfill \\ & =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,4}+\mathrm{0,5}\times 0+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\times 0+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,4}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,8}\end{array}\right)\hfill \\ & =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,14}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,36}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      $P_1=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,14}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,36}\end{array}\right)$

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   3. Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1^er septembre 2017. Les résultats seront donnés à 0,1 % près.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_5=P_0\times M^5& \text{Soit}& P_5\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,085}& \mathrm{0,331}& \mathrm{0,584}\\ \mathrm{0,097}& \mathrm{0,293}& \mathrm{0,610}\\ \mathrm{0,104}& \mathrm{0,298}& \mathrm{0,598}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,095}& \mathrm{0,305}& \mathrm{0,600}\end{array}\right)\end{array}$$

      Au 1^er septembre 2017, le club devrait compter 9,5 % de débutants, 30,5 % de confirmés et 60 % d'experts.

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3. 1. En calculant $P_{10}$, émettre une conjecture sur la matrice P correspondant à l'état probabiliste stable.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_{10}=P_0\times M^{10}& \text{Soit}& P_{10}\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,100}& \mathrm{0,299}& \mathrm{0,601}\\ \mathrm{0,100}& \mathrm{0,300}& \mathrm{0,600}\\ \mathrm{0,100}& \mathrm{0,300}& \mathrm{0,600}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste semble converger vers l'état stable $P=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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   2. Vérifier cette conjecture.

      $$\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}& 0\\ 0& \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$$

      $P\times M=P$ donc l'état stable est $P=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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   3. Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents ?

      Sur le long terme, chaque année, le club comptera 10 % de débutants, 30 % de confirmés et 60 % d'experts.

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