Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante :

chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ;
chaque année 40 % des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés.

En 2010 cette société comptait 1500 abonnés.

On considère la suite $(a_{n})$ définie par $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 400$ et $a_{0} = 1500$ .

Justifier que la suite $(a_{n})$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$ .
Soit $a_{n}$ le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$ .
- En 2010 cette société comptait 1500 abonnés d'où $a_{0} = 1500$ .
- Chaque année 40 % des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés et la société accueille 400 nouveaux abonnés d'où $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 400$ .
Ainsi, la suite $(a_{n})$ définie pour tout entier n, par $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 400$ et $a_{0} = 1500$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = a_{n} - 1000$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 1000 \\ = & 0,6 a_{n} + 400 - 1000 \\ = & 0,6 a_{n} - 600 \\ = & 0,6 \times (a_{n} - 1000) \\ = & 0,6 v_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,6 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6. D'autre part, $\begin{matrix} v_{0} = u_{0} - 1000 & soit & v_{0} = 1500 - 1000 = 500 \end{matrix}$
  Ainsi, $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $v_{0} = 500$ .
2. Déterminer l'expression de $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $v_{0} = 500$ alors pour tout entier n, $v_{n} = 500 \times {0,6}^{n}$ .
3. En déduire que : $a_{n} = 500 \times {0,6}^{n} + 1000$ .
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} v_{n} = a_{n} - 1000 & \Leftrightarrow & a_{n} = v_{n} + 1000 \end{matrix}$
  Donc pour tout entier n, $a_{n} = 500 \times {0,6}^{n} + 1000$ .
En 2010 le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.
1. Quelle a été la recette de cette société en 2010 ?
  $1500 \times 400 = 600000$
  La recette de cette société en 2010 a été de 600 000 €.
2. Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5 %. On note $P_{n}$ le prix de l'abonnement annuel pour l'année $2010 + n$ .
  Indiquer la nature de la suite $(P_{n})$ en justifiant la réponse. En déduire l'expression de $P_{n}$ en fonction de n.
  Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5 % d'où $\begin{matrix} P_{n + 1} = P_{n} \times (1 + \frac{5}{100}) & \Leftrightarrow & P_{n + 1} = 1,05 P_{n} \end{matrix}$
  $(P_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $P_{0} = 400$ alors pour tout entier n, $P_{n} = 400 \times {1,05}^{n}$ .
3. Montrer que, pour l'année $2010 + n$ , la recette totale annuelle $R_{n}$ réalisée par la société pour l'ensemble de ses salles de sport est donnée par : $R_{n} = (500 \times {0,6}^{n} + 1000) \times (400 \times {1,05}^{n})$ .
  Pour tout entier n, $R_{n} = a_{n} \times P_{n}$ soit $R_{n} = (500 \times {0,6}^{n} + 1000) \times (400 \times {1,05}^{n})$ .
4. Trouver, à l'aide de votre calculatrice, l'année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010.
  À l'aide de la calculatrice, on peut déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de la fonction f définie par $f (x) = (500 \times {0,6}^{x} + 1000) \times 400 \times {1,05}^{x}$ avec la droite d'équation $y = 600000$ .
  On trouve $x \approx 8,1517$ soit une valeur de $n = 9$ .
  C'est en 2019 où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010.

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