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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2014 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Nouvelle Calédonie}}\\(Deuxième session)}}} %centre
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\lfoot{Nouvelle Calédonie 2014\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1,5 ; 6]$ par $f(x) = (25x - 32)\e^{- x}$.

On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l'intervalle $[1,5 ; 6]$, sa fonction dérivée $f'$ et sa fonction dérivée seconde $f''$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout l'exercice.

\begin{itemize}
\item $f'(x) =  (57 - 25x)\e^{- x}$
\item $f''(x) = (25x - 82)\e^{- x}$
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1,5 ; 6]$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1,5 ; 6]$ (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième).
	\end{enumerate}
\item Montrer que, sur l'intervalle $[1,5 ; 6]$, la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\item Dans cette question, on s'intéresse à l'équation $f(x) = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[4 ; 5]$.
		\item On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle $[4 ; 5]$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{ .4\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
$a$ prend la valeur 4\\
$b$ prend la valeur 5\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $b - a > 0,1$ faire\\
\hspace{1em}\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$y$ prend la valeur $f\left(\dfrac{a + b}{2}\right)$\\
\hspace{1em}Si $y > 1$ alors\\
\hspace{2em}\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$a$ prend la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\
\hspace{1em}\rule[-2ex]{0pt}{6ex}Sinon $b$ prend la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\
Fin de Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}Afficher $\dfrac{a + b}{2}$\\\hline 
\end{tabularx}

\end{center}

\medskip

Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}(\emph{à rendre avec la copie)}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\dfrac{a	 + b}{2}$& $y$ à $10^{-3}$ près&$a$& $b$& $b-a$& Sortie\\ \hline
Initialisation&&& 4& 5& 1& \\ \hline
1\up{re} boucle \og  Tant que \fg& 4,5& 0,894&4& 4,5& 0,5&\\ \hline
2\up{e} boucle \og  Tant que \fg&&&&&& \\ \hline
3\up{e} boucle \og  Tant que \fg&&&&&& \\ \hline
4\up{e} boucle \og  Tant que \fg&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une entreprise est spécialisée dans la distribution de pommes et la fabrication de jus de pomme.

Elle s'approvisionne en pommes auprès de différents producteurs régionaux.

L'entreprise dispose d'une machine destinée à tester la conformité des pommes ; celles que la machine accepte seront vendues sans transformation ; les autres serviront à produire du jus de pomme en bouteille.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a : } sélection des pommes}}

\medskip

Une étude a montré que 86\,\% des pommes fournies par les différents producteurs sont conformes. Les tests étant réalisés très rapidement, la machine commet quelques erreurs :

\begin{itemize}
\item 3\,\% des pommes effectivement conformes sont rejetées à tort par la machine ;
\item 2\,\% des pommes non conformes sont acceptées à tort par la machine.
\end{itemize}

On prélève au hasard dans le stock de l'entreprise une pomme qui va être testée par la machine.

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $C$ : \og La pomme prélevée est conforme \fg{} ;
\item $T$ : \og La pomme est acceptée par la machine \fg.
\end{itemize}

$\overline{C}$  et $\overline{T}$ sont respectivement les évènements contraires des évènements $C$ et $T$.

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la machine.
\item Montrer que $P(T)$,la probabilité de $T$, est égale à $0,837$.
\item La pomme prélevée est acceptée par la machine. Quelle est la probabilité qu'elle soit conforme ? (On donnera une valeur décimale approchée au millième)
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b : } contrôle d'un fournisseur}}

\medskip


L'entreprise a un doute sur la qualité des pommes fournies par l'un de ses fournisseurs, et elle envisage de s'en séparer.

Elle procède donc à un contrôle en prélevant, au hasard, un échantillon de 80 pommes et en vérifiant manuellement la conformité de chaque pomme.

On formule l'hypothèse que 86\,\% des pommes de ce fournisseur sont conformes.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de pommes conformes contenues dans un lot de 80 pommes. (\emph{les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième}).
\item  L'entreprise a constaté que seulement 65 pommes de l'échantillon étaient conformes.

Quelle décision est-elle amenée à prendre ?
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $g$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$, et telle que pour tout nombre réel $x$, on a :
\[g(x)= \dfrac{2 \ln (x) + 1}{x}.\]

On note $g'$ sa fonction dérivée et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.

Soit $B$ le point de $\Gamma$ d'abscisse 1 ; la droite $(\mathrm{O}B)$ est tangente en $B$ à la courbe $\Gamma$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1.1)(5.5,2.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2*ln(x)+1)/x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{1}{3}{\f} \gsave
\psline(3,0)(1,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(5.5,2.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-1)(5.5,2.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3,0)(3,1.065)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.5}{5}{\f}
\psdots(0.6065,0)(1,1)\uput[ul](0.6,0){\bleu{$A$}}\uput[ul](1,1){\bleu{$B$}}
\uput[u](3.5,1){\bleu $\Gamma$}
\uput[u](2,.5){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées exactes du point $A$, point d'intersection de la courbe $\Gamma$ avec l'axe des abscisses.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5 ; 5]$, on a $g'(x) = \dfrac{1 -2\ln (x)}{x^2}$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$.
		\item En déduire les variations de $g$ sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $B$ d'abscisse 1.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $\mathcal{D}$ le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. 
	
Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.
		\item On définit la fonction $G$ sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$ par $G(x) = \ln (x) [\ln (x) + 1]$.

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$.
		\item Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile exclusivement entre deux opérateurs concurrents : A et B.

On s'intéresse aux parts de marché de ces deux opérateurs chez les commerciaux de cette entreprise.

Chaque commercial dispose d'un seul abonnement chez l'un ou l'autre des opérateurs : A et B.

Les abonnements sont souscrits pour une période d'un an, à partir du 1\up{er} janvier.

Une statistique, menée sur les choix des commerciaux, a révélé que :

\begin{itemize}
\item parmi les abonnés de l'opérateur A, 18\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur ;
\item parmi les abonnés de l'opérateur B, 22\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur.
\end{itemize} 
 
On admet que les mouvements d'abonnés d'un opérateur à l'autre se poursuivront dans ces proportions dans les années à venir.
 
De plus on sait qu'au 1\up{er} janvier 2014, 40\,\% des commerciaux avaient souscrit un abonnement chez A et 60\,\% chez B.
 
On note, pour tout entier naturel $n$ :
 
\begin{itemize}
\item $u_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez A au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$ ;
\item $v_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez B au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.
\end{itemize} 

On a donc $u_0 = 0,4$ et $v_0 = 0,6$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_{n+1} = 0,82u_n + 0,22v_n$ et que $u_n + v_n = 1$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} =  0,6u_n + 0,22$.
\item On considère la suite $\left(w_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = u_n - 0,55$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(w_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.		
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 0,55 - 0,15 \times  (0,6)^n$.
	\end{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n \right)$. Comment interpréter ce résultat sur l'évolution des parts de marché dans les années futures ?
\end{enumerate} 

\pagebreak

\setcounter{nexo}{3}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
  
Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La société réalise tout au long de l'année des journées promotionnelles pour attirer ses clients sur son site internet. Elle leur envoie un courrier électronique annonçant chaque journée de promotion.

Parmi les clients, 5\,\% d'entre eux ont visité le site internet de la société lors de la première journée de promotion.

Une étude portant sur le comportement des clients auxquels la société a envoyé ce type de message a mis en évidence que :

\begin{itemize}
\item  trois clients sur cinq ayant visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visitent à nouveau lors de la journée promotionnelle suivante ;
\item  un client sur cinq n'ayant pas visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visite lors de la journée promotionnelle suivante.
\end{itemize} 

On choisit. au hasard, un client ayant reçu le message annonçant la première journée promotionnelle.

On formule l'hypothèse que les comportements des clients observés lors de l'étude n'évoluent pas d'une journée promotionnelle à la suivante.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l'état probabiliste ainsi défini par la matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}x_n& y_n\end{pmatrix}$, où $x_n$ désigne la probabilité que le client, pris au hasard, visite le site internet de la société lors de la $n$-ième journée de promotion.


\begin{enumerate}
\item Pour une journée promotionnelle donnée, on note $V$, l'évènement \og le client a visité le site internet lors de la journée promotionnelle \fg.

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $V$ et $\overline{V}$.
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets $V$ et $\overline{V}$ dans cet ordre.
\item En remarquant que $P_1 = \begin{pmatrix}0,05& 0,95\end{pmatrix}$, déterminer $P_2$. Interpréter ce résultat.
\item On admet que le taux de visites se stabilise à long terme. Montrer que $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ est un état stable de ce système.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le réseau informatique de cette société est constitué d'un ensemble de routeurs interconnectés à l'aide de fibres optiques haut débit. Le graphe qui suit schématise l'architecture de ce réseau. Les sommets représentent les routeurs et les arêtes représentent les fibres optiques.

On a fait figurer les durées de transfert des données (en millisecondes) d'un routeur à un autre sur les fibres optiques du réseau de la société.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,3){A}{\bleu{\footnotesize A}}
\cnodeput(2.5,6){B}{\bleu{\footnotesize  B}}
\cnodeput(2.5,3){C}{\bleu{\footnotesize C}}
\cnodeput(2.5,0){D}{\bleu{\footnotesize D}}
\cnodeput(5,4.5){E}{\bleu{\footnotesize E}}
\cnodeput(5,1.5){F}{\bleu{\footnotesize F}}
\cnodeput(7.5,6){G}{\bleu{\footnotesize G}}
\cnodeput(7.5,0){H}{\bleu{\footnotesize H}}
\cnodeput(10,3){I}{\bleu{\footnotesize I}}
\ncline{B}{C}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 20}}
\ncline{C}{E}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 40}}
\ncline{E}{B}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 10}}
\ncline{B}{A}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 30}}
\ncline{A}{D}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 20}}
\ncline{D}{F}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 40}}
\ncline{F}{C}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 40}}
\ncline{C}{A}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 30}}
\ncline{A}{F}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 50}}
\ncline{F}{E}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 30}}
\ncline{E}{G}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 40}}
\ncline{G}{F}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 10}}
\ncline{F}{H}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 30}}
\ncline{H}{G}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 30}}
\ncline{G}{I}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 10}}
\ncline{I}{H}\ncput*{\footnotesize{\sf \prune 40}}
\end{pspicture}
\end{center} 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque année la société doit vérifier l'état physique de la fibre optique installée sur son réseau. Un robot inspecte toute la longueur de la fibre optique afin de s'assurer qu'elle ne
présente pas de détérioration apparente.

Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant
chaque fibre optique une et une seule fois ? Justifier la réponse.

Si un tel parcours est possible, préciser par quel(s) routeur(s) du réseau le robot doit
commencer son inspection.
\item Un ordinateur, relié au routeur A envoie un paquet de données à un ordinateur relié au
routeur I.

Le paquet de données a mis $70$~ms pour transiter du routeur A au routeur I. Ce paquet de
données a-t-il emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

       
\end{document}