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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2014 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Polynésie}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Polynésie 2014\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.\\
 Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; 3]$ ainsi que la tangente au point $A$ d'abscisse 1.
 
En $x = 1$, le nombre dérivé de $f$ est :

\parbox{0.6\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item $ -2\e$ 
\item 3 
\item $\dfrac{1}{\e}$ 
\item  $- \dfrac{1}{\e}$ 
\end{enumerate}
}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.6,1.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=0,linewidth=.75pt,tickwidth=1pt,ticklinestyle=dotted,xticksize=-.2 1.8,yticksize=-.2 3.5]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(3.6,1.8)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-.5}{3.5}{x 1 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-.5}{3.5}{1.10364 0.3679 x mul sub}
\psdot[dotstyle=x,linewidth=2pt,linecolor=bleu](1,0.73575)
\uput[dl](3.6,0){$x$}\uput[dl](0,1.8){$y$}\uput[ur](1,0.8){\bleu $A$}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}}

\medskip
 
 
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[0 ; 5]$ ainsi que sa tangente horizontale au point $A$ d'abscisse 3.
 
Le signe de la fonction dérivée de $g$ est :

\parbox{0.6\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item négatif sur $[0 ; 1]$ 
\item positif sur $[3 ; 4]$ 
\item négatif sur $[1 ; 4]$
\item change en $x = 4$
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(4.5,2.4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.25pt,tickwidth=1pt,labels=none,ticklinestyle=dotted,xticksize=-1.5 2.25,yticksize=-.2 4.5]{-}(0,0)(-0.5,-1.5)(4.5,2.3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(4.5,2.4)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{4.5}{x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub x 3 mul add 4 3 div sub}
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](4.25,0){$x$}\uput[dr](0,2.4){$y$}
\psdot[dotstyle=x,linewidth=2pt,linecolor=bleu](3,-1.333)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(2.2,-1.3333)(3.8,-1.3333)\uput[ur](3,-1.333){\bleu $A$}
\end{pspicture}}

\medskip
 
\item La fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = \e^{- \frac{x^2}{2}}$ est une primitive de la fonction $h$ définie 
par : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
a)\; $\e^{- \frac{x^2}{2}}$& 	b)\; $- \e^{- \frac{x^2}{2}}$& c)\; $- x\e^{- \frac{x^2}{2}}$& d)\;
$- 2x\e^{- \frac{x^2}{2}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit $j$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$ par $j(x) = 1 + \ln x$. 

L'équation $j(x) = 0$ a pour solution :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
a)\; $\e$& 	b)\; $-1$& c)\;$ \dfrac{1}{\e}$& d)\;
1\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x) = 3x + 5$.
 
L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de $k$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est :


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
a)\; 6,5& 	b)\; 8& c)\;4,5& d)\; 8,5
\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d'un lycée.
 
Les résultats révèlent que :

\begin{itemize}
\item[] 95\,\% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70\,\% sont satisfaits de la qualité des repas ;
\item[] 20\,\% des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas.
\end{itemize}

On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[] $R$ l'évènement : \og l'élève mange régulièrement à la cantine \fg{} ;
\item[] $S$ l'évènement : \og l'élève est satisfait \fg.
\end{itemize}

On notera $\overline{R}$ et $\overline{S}$ les évènements contraires de $R$ et $S$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est égale à 0,675.
\item Sachant que l'élève n'est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu'il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$.
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale.

Les résultats seront arrondis au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : \og les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas \fg.
		\item Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement $\overline{A}$ et calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
  
Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent les principales avenues et les sommets du graphe les carrefours entre ces avenues.

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets. 
\item Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue : 
	\begin{enumerate}
		\item en partant d'un carrefour et en revenant à son point de départ ? Justifier la réponse.
		\item en partant d'un carrefour et en arrivant à un carrefour différent ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill  \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\dotnode(1.8,3.2){A}\uput[u](1.8,3.2){\sf \bleu{\small A}}
\dotnode(4.1,3.2){B}\uput[u](4.1,3.2){\sf \bleu{\small B}}
\dotnode(4.1,.9){C}\uput[ur](4.1,0.9){\sf \bleu{\small C}} 
\dotnode(1.8,0.9){D}\uput[ul](1.8,0.9){\sf \bleu{\small D}} 
\dotnode(0.3,0.1){E}\uput[d](0.3,0.1){\sf \bleu{\small E}} 
\dotnode(6.5,0.1){F}\uput[d](6.5,0.1){\sf \bleu{\small F}} 
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{A}{D}\ncline{A}{E}\ncline{B}{C}\ncline{B}{F}\ncline{C}{D}\ncline{C}{F}\ncline{D}{E}\ncline{E}{F}
\end{pspicture}}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Dans le graphe ci-contre, on a indiqué, pour cette même ville, le sens de circulation pour les véhicules sur les différentes avenues. 

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item Peut-on trouver un trajet de longueur quelconque qui permet d'aller de D à B en respectant les sens de circulation ? Justifier la réponse. 
\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe (on rangera les sommets dans l'ordre alphabétique) 
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(6.7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\dotnode(1.8,3.2){A}\uput[u](1.8,3.2){\sf \bleu{\small A}}
\dotnode(4.1,3.2){B}\uput[u](4.1,3.2){\sf \bleu{\small B}}
\dotnode(4.1,.9){C}\uput[ur](4.1,0.9){\sf \bleu{\small C}} 
\dotnode(1.8,0.9){D}\uput[ul](1.8,0.9){\sf \bleu{\small D}} 
\dotnode(0.3,0.1){E}\uput[d](0.3,0.1){\sf \bleu{\small E}} 
\dotnode(6.5,0.1){F}\uput[d](6.5,0.1){\sf \bleu{\small F}} 
\ncline[ArrowInside=->]{B}{A}\ncline[ArrowInside=->]{C}{A}\ncline[ArrowInside=->]{D}{A}\ncline[ArrowInside=->]{A}{E}\ncline[ArrowInside=-> ,ArrowInsidePos=0.4]{B}{C}\ncline[ArrowInside=-> ,ArrowInsidePos=0.4]{C}{B}\ncline[ArrowInside=->]{B}{F}\ncline[ArrowInside=->]{C}{D}\ncline[ArrowInside=->]{F}{C}\ncline[ArrowInside=->]{E}{D}\ncline[ArrowInside=->]{F}{E}
\end{pspicture}}

 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item On donne la matrice 

\[M^3 = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0& 0 &0\\ 
3 &1 &1 &3 &1 &1\\  
1 &1 &1 &2 &3 &0\\ 
0 &0 &0 &1 &0 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
3 &0 &1 &0 &1 &1\\
\end{pmatrix}\] 

	\begin{enumerate}
	\item Que représentent les coefficients de cette matrice ? 
	\item Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 partant du carrefour B et arrivant en A ?
	 
Écrire tous ces chemins. 
	\item Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 arrivant au point E ? Expliquer la démarche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une entreprise produit à la chaîne des jouets pesant en moyenne 400~g. Suite à une étude statistique, on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$. 

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice les résultats seront arrondis à  $10^{-2}$}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(385 \leqslant X \leqslant 415)$. Interpréter ce résultat. 
\item Justifier, en utilisant des propriétés du cours, que $P(X \geqslant 411)\approx 0,16$. 
\item Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum 420~g.
 
Quelle est la probabilité que le jouet soit commercialisable ? 
\item On cherche à contrôler la qualité des jouets. Pour cela on choisit de façon aléatoire un échantillon de $300$~jouets. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de jouets commercialisables sont vérifiées. 
		\item Déterminer cet intervalle. 
		\item On constate que $280$~jouets de l'échantillon sont commercialisables. 

Ce résultat remet-il en question la modélisation effectuée par l'entreprise ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d'y placer \np{2000}~euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 \,\%. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1\up{er} janvier suivants.
 
Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_{n}$ le montant présent sur ce compte au premier janvier de l'année $2014 + n$ après le versement de 150 euros. On a $u_{0} = \np{2000}$.
 
\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près}.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1} = 1,03u_{n} + 150$. 
\item Pour tout entier $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + \np{5000}$.
 
Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,03$. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que pour tout nombre entier $n$ on a : $u_{n} = \np{7000} \times 1,03^n - \np{5000}$.
 
\item À partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins \np{4000} euros sur son compte épargne ? Indiquer la façon dont la réponse a été trouvée.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
L'algorithme ci-dessous modélise l'évolution d'un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une seconde personne.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	C et D sont des nombres réels\\
					& N est un nombre entier\\ 
\textbf{Entrée :}	& 	Saisir une valeur pour C\\ 
\textbf{Traitement:}& Affecter à N la valeur 0\\
					& Affecter à D la valeur $2 \times \mathrm{C}$\\
					& Tant que $\mathrm{C} < \mathrm{D}$ faire\\ 
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
affecter à C la valeur $1,03 \times  \mathrm{C} + 600$\\
affecter à N la valeur  $\mathrm{N}+ 1$
									\end{tabular}\\ 
					&Fin du Tant que\\ 
 \textbf{Sortie :}	&Afficher N\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la variable C dans cet algorithme ? 
		\item Quel est le taux de ce placement ? 
		\item Quel est le versement annuel fait par cette personne ?
	\end{enumerate} 
\item On saisit, pour la variable C, la valeur \np{3000}. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l'algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
		
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de C& \np{3000}&&& & \ldots\\ \hline 
Valeur de N& 0&&&& \ldots\\ \hline 
Valeur de D &\np{6000}&&&& \ldots\\ \hline 
Test $\mathrm{C} < \mathrm{D}$& vrai&&&& \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Qu'affiche l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

        
\end{document}